こんにちは。アセント学習塾の山田です。
日曜日は通常授業が始まるまでの時間は個別指導の枠を設けております。
おおよそ毎週固定で来てくれているのが、当塾で中学受験をした生徒さんです。
もう高校1年生になりました。
中高一貫の高1ですので、数学はすでにII・Bの単元に入っています。
期末が近づいてきましたので今日は青チャートを使って問題演習をしました。
そのうちの一問がこちら。
xy平面上の点A(3，1)と、
x軸上の点Bおよび直線y=x上の点Cからなる
△ABC全体からなる集合をSとする。
Sに属する△ABCで、周囲の長さAB+BC+CAが最小になるのは、
Bのx座標が「ア」、Cのx座標が「イ」のときであり、
そのときの周囲の長さは、AB+BC+CA=「ウ」である。
「ア」「イ」「ウ」にあてはまる数を求めよ。
解説はこのあと。
ブログタイトルにあるように、青チャートによるとこれは慶応大の問題のようです。
ですが、「ア」「イ」だけなら、中2の一次関数が理解できていれば解けますし、
「ウ」は三平方の定理を使うので高校受験の知識があれば解けます。
『△ABC全体からなる集合をSとする。Sに属する△ABCで』という表現が難しいですが、
要は、BやCは条件の直線上ならばどこでもよい、ということです。
さて、問題文の内容を図にしてみましょう。
この三角形の周囲の長さが最小になるようにするには、どうすれば良いでしょうか。
ですがこれも中1の知識です。最短距離と言えば、線対称や垂直二等分線ですね。
というわけで、直線y=xに対して点Aが線対称になる点をA'、
ｘ軸に対して点Aが線対象になる点をA''とします。
ここでAC=A'C、AB=A''Bですから、
AB+BC+CAが最小になるときは、A''B+BC+CA'が最小になればよくて
それはつまりA''とBとCとA'が、上図のように直線上に並べばよいわけです。
A'の座標は(1，3)、A''の座標は(3，-1)ですから、直線A'A''はy=-2x+5です。
それとx軸の交点であるB'のx座標は、「ア」＝5/2、
直線y=xの交点であるC'のx座標は、「イ」＝5/3、
三平方の定理を解けば、「ウ」=2√5、
となります。
はい、これであなたも慶応ボーイ・慶応ガールです。
芦田愛菜さんと友達になれるかも！
ま、もちろんこの一問が解けたところで、
私立大学最高峰の慶應義塾大学に入学できるほど甘くはないのですが。
でも、高校受験の知識で解ける問題もある、というのはなんとなく
中学生から大学受験に向けて勉強していく励みになりますね。