こんにちは。アセント学習塾の山田です。
2018年5月31日の記事では「多角形の内角と外角」というのを取り上げました。
中学受験コースの小5は、毎年同じカリキュラムですので前回までこの単元をしていました。
上記記事では少ししか触れていませんが、「多角形の対角線の本数」という問題があります。
上記の十角形の内部に対角線は何本引けますか。
解説はこのあと。
というわけで、引いてみました。
魔法陣かな？
こんなん、引いているうちに絶対数え間違うやつやん！
ですので計算で求めます。
まず、頂点Aから引ける対角線は以下の図のように7本です。
AからAのように自分自身へは対角線を引けません。
また、AからBやAからJは対角線と呼ばずに辺と呼びます。
ですので、1つの頂点から引ける対角線は、10個の頂点のうち3つを除いた7本となります。
頂点は10個ありますので、
7本×10個＝70本引けるはずです。
しかし、例えばAからFとFからAは同じ対角線ですので、二重にカウントすることになります。
70本の対角線ですべて二重カウントは起こりますので、
70本÷2＝35本
というのが正しい答えになります。
中学入試では、n角形の対角線の本数は「（n-3）×n÷2」で求めるのが一般的です。
さて、この休校期間中、今春に当塾を卒業した新高1生が、学校が全く休みということもあり、
何度か個別指導を受講しにやってきてくれました。
学校からの課題は、動画配信を見て予習して問題集を解くこと。
予習ですので数学で分からないことを中心に授業を希望したため解説をしました。
高1の数学は数学1と数学Aに分かれるのですが、数学Aの組み合わせの単元に、
上記の中学入試の対角線と全く同じ問題がありました。
高校生も「（n-3）×n÷2」で解いてもいいのですが、高校生らしい解き方はこんな感じです。
10個から2個の頂点を選ぶと対角線になるので、
10C2（コンビネーション10の2）で45。
そのうち、辺になるのが10本あるので、10減らして、答えの35本になります。
n角形ならば、「nC2-n」と一般化されますね。
これはこれで分かりやすいですね。
この式を因数分解すると中学入試の公式になるのも、当たり前ですが美しい。
なお、2018年8月7日の「交わるorすれ違う」という記事には、
高1のチャート式に載っていてもおかしくない、中学受験の対角線の問題を紹介しています。
興味のある人はチャレンジしてみてください。
数学よりも国語だ、というタイプの人は
綾辻行人さんの『十角館の殺人』をぜひ読んでください。
中学生か高校生くらいから楽しめると思います。傑作です。
漫画版も連載中です。
私は漫画版を未読なのですが、あのトリックはどういう風に表現するんでしょうか……。
『ハサミ男』は原作も映画版も見ましたが、非常にうまくやっていましたね。
あと、『十角館の殺人』が少しだけ登場するコメディ漫画もあります。
『私がモテないのはどう考えてもお前らが悪い』の作者の谷川ニコさんの4コマ漫画です。
夏目漱石の『こころ』も取り上げられていましたが、そのうちのある4コマに爆笑しました。
Ameba Pickっていうのをやってみました。
別にこれでアフィを稼ごうなんて思っていませんが、せっかくなので。