こんにちは。アセント学習塾の山田です。
毎日同じネタですみません。今日で完結です。
今日の記事から初めてご覧になる方は、
昨日の問題は、これでした。
上の図において、
おうぎ形OABは中心角が90度で、半径が6cmです。
また、四角形OPQRは正方形です。
弧AB上の点Cと点Dはそれぞれ、弧ABを三等分する点です。
このとき、
正方形OPQRからおうぎ形OCDを除いた部分の面積の合計
（図の色付きの部分の面積の合計）を求めなさい。
解説はこのあと。
昨日書いたとおり、中3の三平方の定理を使えば一瞬で解けますので、
まずは、それからやってみます。
点Cと点Dは弧ABの三等分なので、∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝30°です。
よって、△OPCは、30°60°90°の直角三角形になるので、
三平方の定理より、CP：PO：OC＝1：√3：2となり、PO＝3√3cmです。
したがって、正方形OPQRの面積は、3√3×3√3＝27平方cmです。
おうぎ形OCDは中心角が30°で半径6cmですので、
6×6×π×30/360＝3π平方cmです。
以上より、答えは（27-3π）平方cmとなります。
では、答えがわかったところで、中学受験算数のやり方ならどうするでしょうか。
根本的な考え方は同じなので、
正方形の面積が27平方cmであることが分かればいいのですが、
一辺の長さが出せません。
そこでまずは、点Cと点Dを線で結び、△ODCに着目します。
また、点Dから線分OCに垂線を引き、その足をHとします。
△ODHは、30°60°90°の直角三角形なので、OD＝6cm、DH＝3cmです。
（これは三平方の定理を使わなくても正三角形の二等分で、中学受験生でもわかります）
よって、△ODCの面積は、底辺OC×高さDH÷2で、6×3÷2＝9平方cmです。
この△ODCを利用して、正方形OPQRが27平方cmであることがわかれば良いわけです。
そこで、△ORDと合同な直角三角形OREを辺ORが接するように線対称に作図します。
また、△ODCと合同な二等辺三角形EDFを作図し、点Fと点Cを線分で結びます。
そのように作図したのが、下の図になります。
辺の長さや内角から、四角形OCFEは一辺が6cmの正方形で、面積は36平方cmです。
△ODC＝9平方cmで、合同な△EDF＝9平方cmなので、
正三角形ODEと二等辺三角形DCFの面積の合計は、36-（9+9）＝18平方cmです。
ここで、昨日の記事の証明より、FQとDCは平行ですので、
△FDC＝△QDCとなります。（底辺DCと高さが等しい等積変形です）
また、△OREと△OPCは合同ですので、
△ORD+△OPC+△QDC＝18平方cmです。
△ODC＝9平方cmですので、正方形OPQR＝27平方cmとわかります。
というふうに、考え方や証明は結構面倒くさいですが、
正方形OPQRと内部の△ODCの面積の比は3：1というのを
テクニックとして覚えておけば、
難関校受験の際に役に立つかもしれません。
でも私はこの問題と証明を通して初めて確認できましたが、
大手中学受験塾では常識なのかもしれません。
中3の三平方の定理を知っているので、まず答えを出して、
そして、ゴールからもトンネルを掘って途中の障害物をクリアしていきました。
生徒さんがおうちで勉強するときも、解答や解説を見て
「なんでこの答えになるんだろう」とか
「ここまではわかる。ここさえわかればいいのに！」というふうに
考えることは、とても重要で効果的な勉強法だと思います。
質問をするときも、疑問点をピンポイントで訊ねたり、
途中までの考え方などを説明できたりすると、
私はその着眼点や努力をほめたいと思います！
4/29（日）～5/5（土）は、レギュラー授業も自習開放もありませんが、
メールやFAXで質問を受け付けますので、塾生の皆さんは遠慮なくどうぞ！