こんにちは。アセント学習塾の山田です。
12月に入り、小6の中学受験生の授業時間はそれぞれの志望校に向けて
過去問演習と質問対応としております。
やはり多いのは算数の質問で、こんな問題がありました。
上の図のように一辺が4cmの正方形ABCDがあり、
それぞれの辺を四等分した点が、点Eから点Pまである。
点E、点H、点K、点Nを結んだ正方形と、
点G、点J、点M、点Pを結んだ正方形を描き、
それぞれの辺が交わる点を点Qから点Xとする。
このとき、点Qから点Xで囲まれた八角形の面積を求めなさい。
解説はこのあと。
ちなみに求めるべき形は八角形であり、正八角形ではありません。
八角形の辺の長さは、直角三角形EQXと合同な8個の直角三角形の斜辺ですから、
それぞれ等しいのですが、EQXは直角二等辺三角形ではありませんので、
外角がすべて45度にはなっていません。ですので正八角形ではないのです。
また、直角三角形だなんだと言っていますので三平方の定理が出てくるかというと、
中学受験の算数の問題ですのでこちらも使いません。
正八角形だったら面積は√が付くので求まらないですね。
というわけで、このような変な形の面積は周りの面積を引いていくことを考えましょう。
上の図のように、正方形ABCDから四角形RBISを8個分、引くことを目標にします。
さて、ここで△RBHの面積を「比の1」と置いてみます。
△RBGは合同な三角形ですので同じく比の1、
△RHJは、△RBHと高さが同じですので底辺の比から、比の2となります。
一方で、△GBJの実際の面積を求めてみると、
底辺3cm、高さ1cmですので、3/2平方cmです。
△GBJは比の合計4ですので、比の1である△RBGは3/8平方cmとなります。
また、△SIJは、底辺1cm、高さ1/3cmですので、面積は1/6平方cmです。
よって、四角形RBISの面積は、引き算して23/24平方cmです。
というわけで求めるべき八角形は、
正方形ABCD＝16平方cmから、四角形RBISの8個分である23/3平方cmを引いて、
25/3平方cmが答えとなります。
なお、上の図のように線分QZの長さ5/3cmと、
相似比を利用して求めた線分XYの長さ5/4cmを使って△XQZの面積を求めて8倍して
八角形の求める方法もあります。
こちらのほうが楽かもしれませんね。
関西の私立中学受験の解禁日である1月17日まで、ちょうど1か月前です。
今まで頑張ってきた自分を信じて、最後の1か月間を走り切りましょう！