続きを書くにあたり見直してたら、x²-x-1=0の解の計算をメッチャ間違えてました(4/29修正済み)。
これではテストでも点数もらえませんな。やれやれ…
もとい。
前回の記事では
「方程式の解は、等式の右辺と左辺を関数グラフに描いたときの交点や接点になり、グラフ同士が離れていて接する点がないときは解なしになりますよ」
みたいな話をしました。
だけど、それは私達が普段使う、整数とか分数とか無理数(平方根とかπとか、その他整数や分数の間にある中途半端な数)からなる「実数」という範囲での話です。
もしも「二乗して-1になる数があることにしましょう」とするとどうでしょうか。
というわけで、この数を「imaginary(“想像上の”という意味)」から頭文字を取って“ i ”という記号で表します。いわゆる虚数です。
iの四則演算は次の通り。
i+i=2i
i-i=0(虚数同士は普通に足し引きできます)
i±2=i±2(足し引きするときは、実数とは混ぜず独立した要素として扱います)
i×2=2i(普通に掛け算できます)
i÷2=i/2(普通に割り算できます)
と、計算する上ではとくに扱い難いものでもありません。
さて、必要な道具が準備できたところで、前回解なしだったx²+x+1=0について、xがどんな値になるか計算してみましょう。
解の公式(がんばって絵を作ったので何度でも使いたい)
に当てはめると
x=-1/(2×1)±√(1²-4×1×1)/(2×1)
↓
x=-1/2±√(1-4)/2
↓
x=-1/2±(√3)i/2
という値が得られます。
ということは、前回同様、x²+x+1=0=yとすると、これを分割して得られる2つの関数
y=x²+x+1
y=0
の2つのグラフがx=-1/2+(√3)i/2とx=-1/2-(√3)i/2の2箇所で交わることになるはずです。
ただし、今までのグラフ
にはxの虚数要素が書き込めなかったので、図に現れることがなかっただけでは？となってきます。
というわけで、グラフ上未使用の奥行き方向をxの虚数部分にあて、xの値を「原点から実数方向(Re)にどれだけ、虚数(Im)方向にどれだけ離れているか」で表すようにします。
例えばx=1+2iなら(Re)方向に1、(Im)方向に2だけ原点から離れた点となります。
こんな感じですね。
この面を倒して水平にし、原点で直交するようにy軸を立て、改めてグラフを描いてみますと
今まで表示できていた部分は、こんな感じになります。緑の軸がx(Re)、赤い軸がx(Im)、青い軸がy軸、薄いグレーの面がy=0です。
ここに「xは虚数を含む(実数±ナントカi)けど
x²+x+1を計算した結果であるyは実数になるよ」という部分を赤色でトレースしていきます。
なんでそうなるかは割愛しますが、xの実数部分が-1/2のとき、虚数部分がいくつでもyは実数となり(よかったらいくつか計算してみてください)、青いグラフを横に90°、縦に90°回転させた形になります。
この赤いグラフとグレーの面の交点のxが、ちゃんと-1/2+(√3)i/2とx=-1/2-(√3)i/2になってるんですよ！
というのが見易いように、交点に青色で印をつけて回転した絵を貼っておきますね(上の絵を真下から覗いていると思いねぇ)。
って座標書いてないじゃないの、もう！
でも、ちゃんと点A=-1/2+(√3)i/2と点B=-1/2-(√3)i/2になってるのですよ(信じて)(;´д｀)
(余談ですが、実は、元の図はクルクル回転して色んな方向からグラフを見られるのですが、私の限界かアメブロの仕様の限界か、そのまま埋め込むことができません。苦労して作ったのに皆さんに遊んでもらえず、非常に残念です)
みたいな感じで「高校生の頃にウンザリした二次方程式にも、意外な空間の広がりがあるのだな」なんて、少しでも感じていただけたらな、と思い、長々と綴ってみました。
ここまでのお付き合い、誠にありがとうございました。
(オマケ)
今回のグラフは、xが実数+虚数(この形を複素数と言います)、yが実数の範囲で描いてますが、実際はyが虚数や複素数になることもあります。
例えば、x=1+iのとき、y=2+3iとなります。
なので、実際はy=x²+x+1を正確に記述しようと思うと軸が4つ必要になります。いわゆる四次元空間です。
という現実の前で「当たり前に近くにあるものの本当の姿って、意外と知覚できないんだなぁ」などと、改めて思う次第です。