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変形モンティ・ホール問題 写真：Business Media 誠現役東大生・森田徹の今週も“かしこいフリ”：3枚のドアの中からアタリのドアを選ぶ確率を上げるにはどうすればいいのか？ クラブ仲間の小泉勇貴氏が全米で大論争になったモンティ・ホール問題を紹介する。
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サブタイトルを見て、「また、あの自信たっぷりの大学生の長編コラムか……」と思った人は多いでしょう。しかし誠に残念ながら、今週は何やらいろいろと忙しそうな森田徹君に代わって、私、小泉勇貴がコラムを担当させていただきます。
森田君と私はAgentsという株式投資クラブに所属しているのですが、そのメンバーで執筆した『東大生が本気で考えた！ 勝ち抜くための株の
本』（中経出版）が6月19日に発売されました。この本は、何事も小手先だけのテクニックや表面的な知識に偏ってしまいがちなこのご時世、「本質的に考え
る」ことに的を絞った株式投資入門書です。株式投資をこれから始めてみたい人や改めて勉強したい人は、書店で手に取っていただけると幸いです。
そんな宣伝はさておき、今回は私が面白いと思ったゲームを紹介します。「ルールはいたってシンプル、なのに答えを教えてもらっても何となくスッキリしない」、そんな世にも奇妙な世界にご招待しましょう。
あなたはテレビ番組で商品当てゲームに挑戦しています。あなたの前には3枚のドアがあり、1枚のドアの先にはあなたが欲しい物が置いてあり（アタリ）、残る2枚のドアの先には何も置いてありません（ハズレ）。もちろん、どのドアがアタリなのかはあなたから見えません。
あなたは、まず3枚のドアからアタリだと思うドアを1枚選びます。すると、アタリのドアを知っている番組司会者が、あなたが選ばなかった2つの
ドアのうち、ハズレのドアを開けて（2つのドアがどちらもハズレの時はコインを投げて開けるドアを決めます）、そのドアがハズレであることを示します。そ
して、司会者はあなたに問いかけます。
「開いていないドアは2枚になりました。あなたには、もう一度ドアを選び直すチャンスをあげましょう。始めに選んだドアのままで良いですか？ それとも、もう1枚のドアに変更しますか？」
こんなルールのゲームに挑戦したとき、あなたならどうしますか？ ドアを変更したら当たる確率が上がるのか、それとも下がってしまうのか。それともドアを変更しても変更しなくても当たる確率は同じなのか……。
●選び直す方が確率は上がる
この問題は一般的には「モンティ・ホール問題」と呼ばれており、米国では著名な経済学者や数学者を巻き込んで大論争になったこともある問題です。答えを先に言ってしまうと、ここではもう1枚のドアを選び直した方が当たる確率はグンと上がります。
私が初めてこの問題を聞いた時は、「残された2枚のドアから選び直す時は、どちらのドアを選んでも当たる確率は2分の1。よって、ドアを変えて
も変えなくても当たる確率は変わらない』と考えて、見事にひっかかってしまいました。私と同じように考えた人も少なくないのではないでしょうか？ この問
題を理由も含めて答えられる人は、かなり頭が切れると思います。
それでは実際にこのゲームをやってみて、ドアを選び直すと本当に当たる確率がアップするのか検証してみましょう。
3枚のドアを左・中央・右と名付けて考えます。そして、アタリが中央のドアだとします。最初にドアを選ぶ時には、ドアの選び方は3通りあります。そこで、それぞれの選択肢のときにどうすればアタリのドアまでたどり着けるかを考えてみましょう。
（1）最初に左のドアを選んだ時
司会者は残る2枚（中央と右）のドアのうち、ハズレの右のドアを開けます。この場合、あなたはドアを選び直すことでアタリのドアを選ぶことができます。
（2）最初に中央のドアを選んだ時
司会者は残る2枚（左と右）のドアのうち、どちらかのハズレのドアを開けます。この場合、司会者がどちらのドアを開けたとしても、あなたはドアを変更しなければアタリのドアを選ぶことができます。
（3）最初に右のドアを選んだとき
司会者は残る2枚（左と中央）のドアのうち、ハズレの左のドアを開けます。この場合、あなたはドアを選び直すことでアタリのドアを選ぶことができます。
（1）～（3）より、アタリが中央のドアの時はドアを変更しないと当たる確率が3分の1、ドアを変更すると当たる確率が3分の2となり、ドアを選び直した方が2倍当たりやすくなります。ここでは省略しますが、アタリが左のドアでも右のドアでも同じ結果になります。
少し見方を変えてみましょう。最初に選んだドアが当たる確率は常に3分の1であり、選ばなかった残りの2枚のドアのどちらかが当たる確率は常に
3分の2です。そして司会者は選ばなかった2枚のドアからわざとハズレのドアを開けてくれるわけです。すると、最初に選んだドアが当たる確率は3分の1の
ままですが、残ったもう1つのドアが当たる確率は3分の2になります。つまり、「ドアを選び直す」ということは「最初に選ばなかった2枚のドアを両方選
ぶ」ということと同じになるのです。
●ドアが100枚の場合で考えると……
このほかにもこの問題にはさまざまな説明の仕方があると思いますが、「言っていることは何となく分かるけどスッキリしない……」という人も少な
くないでしょう。それはおそらく、人間の直感と確率論との間にズレが生じているからだと思います。しかし、自分が司会者になってゲームを進めていく場合を
イメージしてみると、面白いくらいスッキリします。
ドアの枚数を3枚から100枚に増やした場合で考えてみましょう。ゲームの司会者であるあなたは100枚の中のどれがアタリかを知っています。
それぞれのドアに1番から100番まで番号を付け、アタリが50番のドアでプレイヤーが10番のドアを選んだとします。すると、あなたは10番と50番を
除くすべてのハズレのドアを1枚ずつ開けていきます。19番を開けて、89番を開けて、4番を開けて……、ハズレのドアを開けるにつれて残るドアの枚数は
どんどん減っていきます。
こうして残りのドアが10番と50番の2枚になると、あなたはもう一度選び直すチャンスをプレイヤーに与えます。こうなると、ドアを選び直した
方が当たる確率が明らかに高くなると感覚的にも思えるようになりませんか？ この場合には、100枚のドアから最初に当たりのドアを選べたとき（確率はも
ちろん100分の1）以外には、ドアを選び直さないとアタリにはたどり着けないわけです。
●情報が行動の成否を決める
モンティ・ホール問題の面白いところは、情報量の違いがそれぞれのドアの評価を大きく変えてしまうことです。最初はどのドアを選んでも当たる確
率は3分の1ですし、司会者の行動やゲームのルールを知らずに、ドアを選び直すチャンスを与えられるシーンからこのテレビ番組を見始めた人にとっては、ど
ちらのドアを選んでも当たる確率は2分の1です。しかし、このゲームの流れを見てきた人は、ドアを選び直して当たる確率を3分の2にできるのです。
「情報戦」という言葉がありますが、どんなことであっても情報は結果を大きく左右する重要な要素になります。例えば、路上喫煙者から罰金を徴収
する新たな条例が施行された際、「そんなの聞いていないよ」と罰金を言い渡されて怒っている人が、ニュースなどで取り上げられることがあります。その人は
新条例の情報を知らなかったために、不快感と罰金という二重の損害を受けてしまったわけです。また、好きな異性を誘って食事に行った時に、相手の嫌いな食
べ物が出てきた時の気まずさといったらありません。「相手は●●が食べられない」という情報を手に入れてなかったために、楽しい食事とチャンス（？）が台
無しになってしまうわけです。
そう考えると、気遣いや気配りがうまい人というのは、この情報戦がとても得意な人だということができます。「知人経由で相手の欲しい物を聞き出して、誕生日にサプライズでプレゼントを渡す」という演出などは情報戦の最たるものです。
また、大して能力があるわけでもないのに、先輩や上司の評価が高くて好かれている人というのは、その先輩や上司が喜ぶ言動に関する情報をたくさ
ん持っていて、その情報をまとめたルールブック通りに振る舞うことで相手の機嫌を取り、高い評価を勝ち取っているわけです。「私のこと何でも分かるんだ
ね」「すごく気が利くね」「仕事というものが良く分かっているじゃないか」……これらの褒め言葉は、たいていの場合、情報をうまく駆使できないとかけられ
ることがない言葉です。なので、こうした言葉を掛けられる情報戦の得意な人は、たいていどこに行ってもうまく振る舞うことができ、こうした褒め言葉をかけ
てもらえるのではないかと思います。
逆にこうした気遣いや気配りの類が不得意な人は、情報量の違いが成否や結果を大きく左右するということを意識してみてはいかがでしょうか？ い
ろいろな方向にアンテナを張っておくだけでも、随分と弱点が克服できるのではないかと思います。観測範囲内にありながらも見えていないということは、“知
らない”ということと同義なのですから。これは私も大学受験や株式投資で何度も痛感していることです（株式投資の場合は情報の量と同じくらい質も問われる
ことになりますが）。
情報の大切さを教えてくれたモンティ・ホール問題、皆さまに楽しんでいただけたなら幸いです。もし身の回りに頭が良いとされている人がいる時に
は、この問題を出してみると面白いかもしれません。その人が本当に頭が良いのか、それとも“かしこいフリ”をしているだけなのか調べるテストになるのでは
ないでしょうか。ちなみに、本コラムで普段“かしこいフリ”をしている森田君は見事にひっかかっていました。
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