ロシア科学アカデミー・スミルノフ物理学派論文審査員：ドクター佐野千遥
正四面体4稜を辿り元に戻る一筆書きはトポロジカルにメービウスの帯に同相
何故正四面体やメービウスの帯がそんなに重要かと言うと、メビウスの帯は我々の宇宙で唯一の素粒子である単極磁石を至るところで生成しているからである。
電気的イオンとイオンとの化学反応に磁気的に介在する触媒を成す物質は悉く正4面体の結晶構造を持つ。「正統派」現代物理学派にはこのような認識が無く、又事実がそうである事を告げて彼等にそれが何故なのかの説明を求めても「正統派」現代物理学の理論構成が原因で全く説明する事ができない。勿論、物理学に対し従の関係に有る化学は物質に囚われた意識しか持っておらず、その原因まで遡って考察する意欲を持っていない。
そこで反エントロピー新古典物理学を掲げるスミルノフ学派と佐野千遥は、正4面体等の幾何学構造が何故物理現象を左右するのかを以下に論じる。
先回りして言うと、離散値の世界に於けるメービウスの帯＝正4面体は分子レベルの触媒の結晶構造に現れるだけでなく、正4面体構造を基に離散値的に整然と並んだ軌道電子と同じく原子核内に正4面体構造を基に離散値的に整然と並んだ核子を構成する宇宙唯一の素粒子＝単極磁石はその周りを覆う正4面体メービウスの帯構造により不断に裏返しにされた負の質量、負のエネルギーを得ており、各素粒子＝単極磁石を覆う正4面体メービウスの帯構造、各核子を覆う正4面体メービウスの帯構造は、原子核全体を覆う正4面体メービウスの帯構造が内辺に向けてフラクタル分割する事により宇宙史の中で発生してきている。
では数学の本論に入ろう。
位相幾何学において、もし図形Aを連続的に変形して図形Bにする事が出来、又逆に図形Bを連続的に変形して図形Aにする事が出来るならば、図形Aのトポロジー（位相）と図形Bのトポロジー（位相）とは「トポロジー（位相）同型」であると言い、図形Aと図形Bとは「同相」である、とも言う。
メービウスの帯を中心線に沿って切り開くと立体的に交差した8の字型になる。
一般n面体のトポロジーは一定しない（正n面体とその同じn個の面を持つ一般n面体を考えると、その一般n面体の各面の多角形は正n面体の各面の多角形と同じ角数の多角形である必然性は無い。よって一般n面体は正n面体を連続的に変形して得る事を保証できない。つまり一般n面体と正n面体とは同相であることを保証できない。）。
しかし我々の3次元ユークリッド空間において、n=4である4面体だけは、一種類のトポロジーしか持たない。つまり一般4面体は全て正4面体と同相であり、一般4面体は正4面体の辺を伸ばしたり縮めたりする事により必ず得る事が出来る。
そして正4面体によっては出来ないが、それと同相の一般4面体を以ってすれば、我々の宇宙空間を間隙無しに全て埋め尽くす事ができる。
ここに一般4面体構造（先回りして言うと一般メービウス構造）が我々の宇宙にomnipresentである（至る所に偏在する）理由が有る。
離散距離
x => y且つx <= y の時d(x,y) = 0
x <≠ yの時 d(x,y) = 1
が定める距離位相は離散位相D+に一致し、故に空でない集合X+は離散位相を持てば正の距離化が可能である。
また
x => y且つx <= y の時d(x,y) = 0
x ≠> yの時 d(x,y) = -1
が定める距離位相は離散位相D-に一致し、故に空でない集合X-は離散位相を持てば負の距離化が可能である。
0を含めない自然数において、メービウス関数μ(n) は全ての自然数nに対して定義され、nを素因数分解した結果によって-1、0、1の値を取る。
μ(n) = 0 （nが平方因子を持つ [平方数で割り切れる] 場合）
μ(n) = (- 1)^k （nが相異なるk個の素因数に分解される場合）と定義する。
nが相異なる偶数個の素数の積ならばμ(n) = 1
nが相異なる奇数個の素数の積ならばμ(n) = - 1
ここで正四面体4稜を辿り元に戻る一筆書きを考察してみよう。
A -> C -> D -> B -> A へと進んで元に戻る一筆書きの経路を考える。
A -> C -> D -> B -> A をこちら側から平面的に見ると立体交差した角張った8の字の形をしていることも確認しよう。
電磁気学を創ったマックスウェルも使った
i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1
なる関係を持つ4元数i、j、k、-1 をそれぞれ頂点A、B、C、D（順不同）に割り振る。
-1を持ったAからjを持ったCへ進むと-1 * j = -j、更にCからkを持ったDに進むと-1 * j * k = -jk、更にDからiを持つBへと進むと-1 * j * k * i = - jki = - (-1) = 1、さらにBから-1を持つAに戻ると-1 * j * k * i * (-1) = - jki * (-1) = - (-1) * (-1) = -1 となり経路の値はAが持っている値に戻った。経路の値は-1から一旦+1に反転されたものが再び-1に反転されて元に戻っている。ここに電磁気学で必要とされた４元数は数論的にメービウスの反転、反転を支える仕組みである事も確認できる。
このような局所的メービウスの反転のみならず、自然数は全域に渡りメービウスの反転に満ち満ちている事を、つまり離散値の世界全体=我々の宇宙全体はメービウスの反転のフラクタル構造を成している事を以下に見て行こう。
メービウス関数の話に戻ろう。
メービウス関数は乗法的関数である。
自然数m、nが互いに素である場合には
μ(mn) = μ(m) μ(n)
自然数m、nが互いに素でない場合には
μ(mn) = 0
となる。
又dをnの因数とした場合、
nのすべての因数dについて和を取った値は
n = 1 なら
∑μ(d) = 1
n ≠ 1なら
∑μ(d) = 0
このn ≠ 1なら∑μ(d) = 0である事は次のように証明できる。
nのすべての因数dについて和を取った値は
∑μ(d) = kC0 – kC1 + kC2 – ….+(-1)^k * kCk （2項定理により）
= (1 -1)^k
= 0
より一般的にfを乗法的関数とすると
nのすべての因数dについて和を取った値は
∑μ(d) f(d) = Π{1 – f(p)}
のようにnの全ての素因数pについての積に等しい事が導き出される。
乗法的関数f(n)、g(n)について次の2つの命題は同値である。
nのすべての因数dについて和を取ると
g(n) = ∑f(d)
f(n) = ∑g(d)μ(n/d)
が成り立つ。この関係式をメービウス関数の反転公式と言う。
以上述べたような至るところメービウス的数論的背景が、物理世界の至る所にc / (c - v)のメービウス変換を現わせしめ、物理世界の動的作用反作用をしてメービウスの鏡面対称のダイナミズムを引き起こしせしめているのである。
今回のブログは高校生の数学を遥かに超える数学を使いました。よく、ここまで読んで下さいました。有難う御座います。この論の意義は、最初と最後に書きましたより分かり易い物理学的出来事に集約されます。
ロシア科学アカデミー・スミルノフ物理学派論文審査員：ドクター佐野千遥
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