【群論の発展編】交代群とは？偶置換だけの群の構造と性質をわかりやすく解説🔀🧮
対称群 SnS_n が「すべての置換（並び替え）」を含む群であるのに対し、その中でも**「偶数回の入れ替え」で表せる置換だけを集めた群**が存在します。
それが、**交代群（Alternating Group）**です。
この記事では、交代群の定義・性質・対称群との違い・応用までを、初学者にもわかりやすく丁寧に解説します😊📐
✅ 交代群とは？
🔁 **偶置換（even permutation）**とは？
2つの要素を入れ替える操作（＝互換）を偶数回行う置換のこと。
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(123)=(12)(23)(123) = (12)(23) → 2回の互換 → 偶置換
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(12)(12) → 1回の互換 → 奇置換
🧠 交代群 AnA_n の定義：
n個の要素の偶置換すべてからなる群
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An⊂SnA_n \subset S_n（対称群の部分群）
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演算は置換の合成
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群の位数（要素の数）：
∣An∣=n!2|A_n| = \frac{n!}{2}
つまり、対称群のちょうど半分が偶置換からなる交代群です。
🧪 具体例で理解しよう
✅ A3A_3 の場合
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S3S_3 の置換は 6通り：
e, (12), (13), (23), (123), (132)
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偶置換（互換2回または0回で書ける）：
e, (123), (132)
→ これらが 交代群 A3A_3 のメンバー。よって、
∣A3∣=3|A_3| = 3
✅ A4A_4 の場合
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S4S_4 の置換は 24通り → A4A_4 はその半分の 12通り
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A4A_4 は初めて「単純群」ではない例（部分群を持つ）
🔍 偶置換と符号関数（sign）
置換 σ∈Sn\sigma \in S_n に対して、
sgn(σ)={+1偶置換（even）−1奇置換（odd）\operatorname{sgn}(\sigma) = \begin{cases} +1 & \text{偶置換（even）} \\ -1 & \text{奇置換（odd）} \end{cases}
この符号関数の**核（ker）**が、まさに交代群 AnA_n です！
📌 群準同型の視点でも重要！
📊 交代群の性質まとめ
| 性質 | 内容 |
|---|---|
| 位数 | ( |
| 部分群 | An⊂SnA_n \subset S_n（インデックス 2 の部分群） |
| 正規部分群 | An◃SnA_n \triangleleft S_n（なぜならインデックス2だから） |
| 単純群（simple） | AnA_n（n ≥ 5）は単純群 → 群論の分類において超重要！ |
| 非可換群 | n ≥ 4 では非可換。構造が複雑化 |
| Galois理論と深く関係 | 代数方程式の解の存在条件に登場 |
💡 応用分野
🔐 Galois理論
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5次以上の方程式が一般には代数的に解けない理由は、交代群が単純群になることに関係！
🔢 組合せ論・対称性の分類
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対称性の“偶奇”を見分ける場面に登場
🧬 物理・化学（分子対称性）
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ある対称操作が偶置換かどうかを分類することで、物理的性質が変わることがある
🧠 機械学習（対称性を保つ設計）
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Permutation-invariant モデル設計時、出力の整合性を保つために偶置換だけを考慮するケースも
✅ まとめ
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交代群 AnA_n は、「偶置換」だけからなる対称群の部分群
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対称群のちょうど半分 → ∣An∣=n!2|A_n| = \frac{n!}{2}
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n ≥ 5 で 単純群 → 群の理論的分類の基礎をなす
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数学・物理・暗号理論など、応用範囲は非常に広い！
次回は、「単純群とは何か？なぜそれが“群の素粒子”と呼ばれるのか？」というテーマで深掘りします！
群論の核心へとさらに迫っていきましょう✨📚