【視覚で学ぶ】対称群・置換群とは？構造・演算・応用まで完全ガイド♻️🔢
「対称群（Symmetric Group）」「置換群（Permutation Group）」は、群論の中でも最も直感的かつ応用範囲が広い重要な概念です。
モノの並べ替え（置換）を考えるだけで、強力な数学的構造が現れる！
この記事では、「対称群・置換群とは何か？」から「具体例・計算方法・応用分野」までを、図やコードも交えてやさしく解説します😊📐
✅ 対称群・置換群とは？
🔁 **置換（permutation）**とは？
あるn個の要素の並び順を入れ替える操作のこと。
📌 例：3つの要素 {1, 2, 3} の並べ替え
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123（そのまま）
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132
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213
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231
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312
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321
全部で 3! = 6通り の並び替えがあります。
🧠 対称群 SnS_n の定義
対称群 SnS_n とは、
n個の要素に対するすべての置換（順番の入れ替え）の集合
であり、それらを「合成演算（順に適用）」で結合する群です。
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群の要素：すべての置換（n! 個）
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演算：置換の合成（後に作用するものから適用）
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単位元：何もしない置換（恒等置換）
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逆元：元の順番に戻す置換
🧩 S₃（3次対称群）の例
S₃の要素は以下の6通り：
| 記号 | 内容 |
|---|---|
| e | 恒等置換（123） |
| (12) | 1と2を交換 |
| (13) | 1と3を交換 |
| (23) | 2と3を交換 |
| (123) | 1→2, 2→3, 3→1 の循環 |
| (132) | 1→3, 3→2, 2→1 の循環 |
📌 記号 (12) は「1と2を入れ替える置換」を意味します。
🔁 置換の合成演算とは？
(12)(23) = 1→2→3, 2→3→2, 3→1→1 → 結果は (123)
📌 右から左に適用するのが一般的（関数合成と同じ）
🧮 置換の表現方法
✅ 1. 2行表記
(123231)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}
これは、1→2、2→3、3→1 を表す置換（= (123)）
✅ 2. サイクル表記（cycle notation）
(123)(123)
サイクルを順に読むことで、入れ替えが視覚的に理解しやすくなります。
📊 対称群の性質
| 性質 | 内容 |
|---|---|
| 非可換 | SnS_n（n ≥ 3）では順序が結果に影響する |
| 群の位数 | 要素数は n!n! 個 |
| 構造が複雑 | 群の中に部分群や正規部分群が存在 |
| 基本的な構成単位 | 他の多くの群は、置換群に同型である場合が多い |
🤖 応用分野
🎲 組合せ最適化・アルゴリズム
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順列を扱う問題（例：巡回セールスマン問題、ソートアルゴリズム）
🧬 物理・化学
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分子の対称性
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スピンの入れ替え・量子状態の記述
🔐 暗号理論
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簡単に解読できない順列の複雑性を利用
🧠 機械学習
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対称性を考慮したモデル設計（例：Permutation Invariant Networks）
✅ まとめ
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置換群（対称群）は「並び替え」の数学
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群演算は「置換の合成」、単位元・逆元も明確
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3個以上で非可換になり、構造が一気に複雑に！
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応用範囲は理論数学からAI、暗号まで広範囲！
次回は、**「交代群（偶置換だけの群）とその性質」**について解説します！
置換群をさらに深く理解したい方は、ぜひご覧ください✨🧠