【完全ガイド】常微分方程式（ODE）とは？種類・解法・実用例までわかりやすく解説📘🧮
物理・工学・生物・経済など、自然界のあらゆる現象を**「変化の法則」として数式化できるのが常微分方程式（ODE：Ordinary Differential Equation）**です。
この記事では、常微分方程式の基礎から解法、実用例、プログラミングによる数値解法までを、初学者にもわかりやすく解説します🧠✨
常微分方程式とは？
**常微分方程式（ODE）**は、1つの独立変数に対する関数の変化を記述する式です。
例：
dydx=3x2\frac{dy}{dx} = 3x^2
これは「関数 y(x)y(x) の変化率は 3x23x^2 に比例する」という意味です。
ODEの基本構造
dydx=f(x,y)\frac{dy}{dx} = f(x, y)
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xx：独立変数（時間など）
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yy：従属変数（位置・温度・人口など）
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f(x,y)f(x, y)：変化の法則を与える関数
ODEの分類👀
| 分類方法 | 種類 | 例 |
|---|---|---|
| 微分の次数 | 1階、2階、n階 | d2ydx2+y=0\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0 |
| 方程式の線形性 | 線形 / 非線形 | y′+y=sin(x)y' + y = \sin(x)（線形） |
| 変数の数 | 常微分 / 偏微分 | 常微分：1変数、偏微分：複数変数 |
よく使われる初期値問題📍
多くの場合、「最初の状態」を与えて、それに従った関数の形を求めるという問題設定です。
例：
dydx=−2y,y(0)=5\frac{dy}{dx} = -2y,\quad y(0) = 5
このときの解は：
y(x)=5e−2xy(x) = 5e^{-2x}
解法いろいろ✏️
✅ 分離変数型
dydx=g(x)h(y)⇒1h(y)dy=g(x)dx\frac{dy}{dx} = g(x)h(y) \Rightarrow \frac{1}{h(y)}dy = g(x)dx
両辺を積分して解くタイプ。最も基本的な手法！
✅ 同次方程式・線形微分方程式
1階線形方程式：
dydx+P(x)y=Q(x)\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)
→ 積分因子を用いて解きます：
μ(x)=e∫P(x)dx\mu(x) = e^{\int P(x) dx}
✅ 定数係数の2階線形微分方程式
y′′+ay′+by=0y'' + ay' + by = 0
→ 特性方程式（判別式の平方根）で解の形が決まる：
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実数解 → 指数関数
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複素数解 → 三角関数
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重解 → 指数 × x
常微分方程式の応用例📚
| 分野 | 使用例 |
|---|---|
| 物理 | 質点の運動方程式（F=maF=ma） |
| 生物 | ウイルス感染モデル（SIRモデル） |
| 経済 | 複利計算、在庫モデル |
| 電気回路 | RLC回路の電流・電圧の変化 |
| 環境学 | 放射性物質の崩壊 |
PythonでODEを数値的に解く（scipy）
from scipy.integrate import solve_ivp
import matplotlib.pyplot as plt
# dy/dx = -2y, y(0) = 5
def model(t, y):
return -2 * y
sol = solve_ivp(model, [0, 5], [5], t_eval=[i*0.1 for i in range(50)])
plt.plot(sol.t, sol.y[0])
plt.xlabel("Time")
plt.ylabel("y(t)")
plt.title("Solution of dy/dx = -2y")
plt.grid()
plt.show()
🔹 solve_ivp() は常微分方程式を数値的に解いてくれる関数です。
まとめ📝
-
常微分方程式は「変化の法則」を記述する最重要な数学モデル
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解法は「分離」「積分因子」「特性方程式」など多様
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現実世界の現象をモデル化・シミュレーションする基盤技術
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Pythonや数値解析ツールを使えば複雑なODEも扱える！
応用記事として、
✅ SIRモデルで感染症をODEでシミュレーションする方法
✅ 振動モデル（バネ・ダンパー系）の2階ODE解説
✅ 機械学習での微分方程式の活用（Physics-informed NN）
などもご用意できます📘 ご希望があればお知らせください！