水洗トイレの手洗い水がすぐに出ないので

わが家の水洗トイレは水を流すと手を洗うための水が水槽（タンク）の上に出るタイプなのだが、その水がすぐには出なくて、水槽が満タンに近くなってきてはじめて出てくるので不便だった。
トイレは2か所にあって、同じタイプだが、片方だけがそうなる。
水槽の上を開けてみて比べたりしてみたが、どうも不具合の原因がよくわからない。
ネットで検索し、いろいろ調べたが、構造などの説明はあるが、同じ不具合に行き着かなかった。

水洗トイレで水を流すと、空になった水槽に水を入れるため、水道管から水が来る。一部は手洗い用に上から流れて入るが、直接水槽に入るルートを水槽の構造の説明を読んで知った。今回の不具合では直接入るルートだけに水が行って、上に行っていないようだった。
ネット上の似たようなＱ＆Ａの中に、水槽に入る水道の蛇口が大きく開いてなくて、水の勢いが足りないのではないかという回答があったので、同じことかと思っていっぱいに開けたら手洗い水がわりと出るようになった。
それでも水量が少ないので調べたら、フィルターが砂などで詰まっているのではないかという回答もあった。そうだとすると素人が直すのはリスクがあるかと思い、とりあえず見合わせている。水槽には水は入るのだから。

なお、水槽が満タンに近くなった時に手を洗う水がでる理由だが、満タンになると水を止めるようになっているが、

直接水槽に水を入れるルートが先にふさがり、そのため手を洗う水のルートへの水の圧力が高まって出るようになるのだろう。

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