こんばんは
ほぼ1年ぶりの記事になります。
1年続いた長い冬もやっと終わりつつありますね。
（比喩なのか、ジョークなのかどちらにも取れる文だなあ。）
とりあえず無事に生存しています。 ハイ (^_^;)
いかめしく感じる（？）記事のタイトルですが、
おそらくそのとおりかもしれません。
まあ、たまにはいいかなあということで・・・・
理系以外のかたには、わけわかめの世界になると思いますので、
気にせずにスルーしてくださいませ。
＊＊＊＊ かな～りの長文になりました。＊＊＊＊
フーリエ変換は、世の中にフーリエ変換器というものが
存在いていて、
アナログ入力信号をスイープ信号とミキシングして
直流分のレベルを表示するスペアナや
入力信号を周期波列とみなせる処理（window処理）をして
これを離散フーリエ級数展開して表示する
いわゆるＦＦＴスペアナがあります。
このおかげでフーリエ変換のイメージはなんとなくつかめます。
それに対し、
ラブラス変換器というものは私の知る限りなさそうです。
必要性がないためなのか・・？
そんなわけで、厳密性は気にせずにラプラス変換について
つらつら考えてみたことを思いつくままに書いてみます。
まずはラプラス変換F（ｓ）の定義式です。
∞
F（ｓ）＝∫ｆ（ｔ）exp(-ｓｔ）ｄｔ
0
時間ｔの関数f(t)を複素数ｓの2次元領域に変換します。
ここでｓは一体何もの？という素朴な疑問が出てきます。
実態がよくわからないので、せめてｓの次元くらいは
知っておきたいものです。
ｅｘｐ（-ｓt）は無次元でなければならず、
当然ｓｔの次元も無次元。
tは時間なので、
ｓは（1/時間）の次元でなければならないことがわかります。
余談ですが、
exp()の中の式を次元解析して
色々な式の次元を確認することができますね。
例えば、
ｆ（V,T）＝exp(eV/kT）
e：電荷：クーロン、
Ｖ：電位：ボルト、
k：ボルツマン定数：ジュール/°ｋ、
T：温度：°ｋ
の式で、exp()の中は無次元なので、
分母と分子の次元は同じ。ということで、
e・Ｖはエネルギー（＝ジュール）の次元というのが
わかります。
単位名が増えてくると（特に電気系は多いのですが）
どの次元かわからなくなりますね。
このように見慣れた式から次元を確認できます。
では、話をもとに戻して・・・
簡単なものを例にして考えるのがよさそうなので、
まずは3種類の時間の関数を例にします。
図１ 3種類の時間関数
図１は横軸が時間ｔで、縦軸が信号（実数）です。
ラプラス変換はt<0のときはf(t)=0とします。
（以後、この条件の記述は省略します。）
まず、図１の①はt>=0のときは常にf1(t)=１の
いわゆる単位ステップ信号ですね。
教科書では普通ここで終わるのですが。
あえて指数関数で表現すると②、③との関係を考慮して
ｆ1(t)＝exp(±ｔ/∞) = 1
となります。
時定数 T1 = ∞ と考えれはいいですね。
±は増加関数あるいは減少関数のどちらで考えるかの違いです。
②はt=0のとき1から始まる指数関数で、
時間とともに減少する関数で、
ｆ２(t)＝exp(-ｔ/T2)
と表すことにします。
ここで、T2は正の一定値で時間の次元であり、
よく知られているように時定数と呼ばれます。
さらに
③はt=0のとき1から始まる指数関数で、
時間とともに増加する関数で、
ｆ3(t)＝exp(ｔ/T3)
と表すことにします。
ここで、T3も正の一定値で時間の次元であり、
これも一般的に時定数と呼ばれるのかは知りませんが、
ここでは時定数と呼びましょう。
①から③の時間関数を定義通りにラプラス変換します。
① f1(t)=１
∞
F1（ｓ）＝∫ｆ1（ｔ）exp(-ｓｔ）ｄｔ
0
∞
＝∫１・exp(-ｓｔ）ｄｔ
0
∞
＝∫exp(-ｓｔ）ｄｔ
0
∞
＝｛ exp(-ｓｔ） / (-s) ｝
0
＝ 1/ｓ
となります。
同様に計算をすると
② ｆ２(t)＝exp(-ｔ/T2)
F2（ｓ）＝ 1/（ ｓ ＋ (1/T2) ）
② ｆ３(t)＝exp(ｔ/T3)
F3（ｓ）＝ 1/（ ｓ - (1/T3) ）
となります。
これをなんとかグラフ化して目に見えるようにしたい・・・
ところが、
89+ｓは複素数なので当然、F1(s)～F3(s)も複素数になります。
さあて、どないしよう・・・・：？
では、ここで若干コーヒーブレイク（？）
話題を、
おそらく中学の数学で勉強したであろう双曲線関数に変えます。
式は
① y=1/x 一番簡単で基本的な関数です。
② y=1/(x+10) ①をｘ方向に-10だけ移動しました。
③ y=1/(x-10) ①をｘ方向に+10だけ移動しました。
これをグラフで表現すると次の図になります。
Xは実数なので簡単にイメージできますね。
ここでの注目点は、式の右辺の分母が０になり、
左辺ｙが無限大に発散するときのｘの値です。
このｘを特異点または極と言います。
①から③の場合、順にx=0,-10,+10になります。
ｘが極に近づくとｙは次第に大きくなり
（近づく方向で±の符号は違います）、
逆に遠ざかると±0に漸近します。
図2 3種類の双曲線関数
これらを頭に入れて
双曲線の式とラプラス変換した式を比べてみると・・・・
定数の値が違うだけで、形は同じように見えますね。
というか、実数か複素数だけの違いだけ。
多分、複素数でも同じ形になるのでは？
と類推できそうです。
ということで
ラプラス変換した①の式 F1(s)＝1/s をグラフ化したものが
次の図3です。表計算ソフトのエクセルを使ってみました。
図3-1 実部
図３-2 虚部
変数ｓが複素数なので実数と虚数になり、
実軸（茶色）を「Re：σ」、虚軸（緑色）を「Iｍ：ｊω」とする
2次元の平面になります。
また、Ｆ(s)も複素数なので、
これも実部と虚部のふたつ（2枚）のグラフになります。
各々の値をフレーム状に表現し,
その値がグラフの高さになっています。
複素座標の原点で無限大に発散し、
遠ざかるとほぼ０になる双曲線関数のグラフy=1/xに
よく似ているのがわかると思います。
計算は次のように行いました。
s = σ + ｊω
と実部と虚部に分けます。
σ（シグマ）、ω（オメガ）はそれぞれ実数です。）
ｊ は虚数単位で ｊ＾２＝-1 です。
数学屋さんは i を使いますが、
電気屋さんは i を電流として使うので
次のアルファベットの ｊ を使います。
違和感を感じる方は頭の中で変換してくださいませ。
すると
F1( σ + ｊω)
= 1 / （ σ + ｊω ）
= ( σ - ｊω ） / ( σ^2 + ω^2 )
= ｛ σ / ( σ^2 + ω^2 ) ｝
- j ｛ ω / ( σ^2 + ω^2 ) ｝
になります。
実部をRe((F1(σ + ｊω)）、虚部をIm((F1(σ + ｊω)） とおいて
Re((F1(σ + ｊω)） = σ / ( σ^2 + ω^2 )
Im((F1(σ + ｊω)） = -｛ω / ( σ^2 + ω^2 )｝
となり、
この右辺を
-1 <= σ <= 1 、 -1 <= ω <= 1の範囲で
計算した値をプロットしたものがグラフになります。
余談ですが
とある友人から「理系のひとは、何でもすぐにグラフにしたがる。」
と言われたことがあります。
直観的でわかりやすいから、まあ、い～んじゃない。 (^.^)
そういう習性の生き物ということですかね。
余談はここまで。
さて、F1(s)＝1/s のグラフ化はできたので、次は
F2（ｓ）＝ 1/（ ｓ ＋ (1/T2) ）
と
F3（ｓ）＝ 1/（ ｓ - (1/T3) ）
なのですが、
双曲線関数の例を見てもわかるように
原点から実軸σ方向に - (1/T2) だけ
若しくは + (1/T3) だけ
移動すればいいことがわかります。
ここまででわかることは、
３種類の時間関数をラプラス変換すると、
時間変化の挙動（一定、指数関数的減少、増加）によって、
複素平面の極の位置が変わることですね。
時定数が変わると極の位置がどう変わるかを見てみます。
図４ 複素平面上の極
グラフの図４は3次元のものを真上から見て2次元で表しています。
横軸は実部σ、縦軸は虚部ｊωです。
①～③の青色の×印が3種類の時間関数に対応した極の位置です。
①の極は原点にあり、
②の極はσ=-1/T2で負、
③の極はσ=1/T3で正です。
全て実軸上（ｊω＝０）に存在しています。
時定数Ｔ２について考えます。
T2を小さな値にすると
（時間関数がより短時間で0に収束することを意味します）
-1/T2は大きくなり、
極端に小さく
つまりT2→0の極限では-1/T2 → -∞になりますね。
逆にＴ２を大きくすると
（時間関数がより長いで0に収束することを意味します）
極限ではＴ２→∞のとき-1/T2 → 0 になって原点に移動し、
①と同じ時間変化がない一定の時間信号になります。
時定数Ｔ3についても考え方は同じで
T3を小さくすると
（時間関数がより短時間で今度は増加です。）
極の位置は 1/T３ → ∞ に移動し、
Ｔ３を大きくすると 1/T3 → 0 になって原点に移動します。
このように、
2次元のs平面の左半平面に極が存在すると
時間関数は0に収束し、
右半平面に存在すれば無限大に発散します。
若干話が飛躍しますが）、
自動制御では時間信号が無限大に発散することは好ましくなく
0に収束させるために、
右半平面に極が来ないように設計を行います。
もちろん、
目的が別の場合、意図的に右半平面に極を置くこともあり、
例えば、アナログ発振回路とかはその一例です。
今までは実部だけしか現れていませんでしたが、
虚部が現れる時間関数としてsinやcosの周期関数があります。
三角関数を扱うときには世界一美しい公式といわれる
オイラーの公式を使います。
一見何の関係もなさそうな
指数関数、複素数、三角関数を結びつける公式です。
この公式があればこそすっきりした大系が出来たり、
簡単な計算で求める答えが得られる、
まさに世界一といわれるだけはありますね。
exp（ｊθ） = cosθ + ｊsinθ
ここで、θ=ω0・ｔと時間の関数にすると
（ω0は角周波数 rad/秒）
exp（ｊω0・ｔ） = cos(ω0・ｔ) + ｊsin(ω0・ｔ)
になります。
求めたいものは
cos(ω0・ｔ) 及びsin(ω0・ｔ)のラプラス変換なのですか、
オイラーの公式を使うことで簡単に求められますね。
exp（ｊω0・ｔ）は複素数で現実世界には存在しないのですが、
複素関数として定義通りにラプラス変換してsの関数として表し、
その実部、虚部と
オイラーの公式を定義通りにラプラス変換した式の実部、虚部を
比較すれば結果が得られます。
＊＊誤記がありましたので、訂正しました。＊＊
結果は
Fcos(s) ＝ω0 s / ( s^2 ＋ (ω0）＾２ )
Fsin(s) ＝ ｓ w0 / ( s^2 ＋ (ω0）＾２ )
ただし、Fcos(s)及びFsin(s)は
cos及びsinの時間関数をラプラス変換したもので、
sの関数なので複素数になります。
ここでFsin(s) Fcos(s)はs=0で０になる、いわゆるゼロ点があります
これはsinとcosの90°の位相差からくるものだと思うのですが、
細かいことは理解していないので省略します。
2次元の複素平面上に3次元表示をして、
極を出せばいいのですが、
今はやや根性がなくやる気がでません。 (^_^;)
なので、ザックリ結果だけ。
sin及びcosの時間周期関数 f(t)=f(t+T) は、
s平面の虚軸上（実軸=0)に複素共役の±ω0の二つの極が現れます。
これまで見てきた実軸上の極の動きとを重ねて考えると、
虚軸上の極が左半平面に移動すれば、
時間関数は周期的に振動しながら減衰していき、
虚軸上の極が右半平面に移動すれば、
時間関数は周期的に振動しながら増加する
パターンになりそうですね。
調べていくと実際にそうなりますよ。
ずっと極に注目して書いてきましたが、
これはラプラス変換が複素関数論と密接な関係があるためです。
と書いてはみたものの複素関数論はサラーっと通過しただけで
殆ど理解していないのが現状。
これはこれからですね。
ここで一旦定義式に戻ります。
∞
F（ｓ）＝∫ｆ（ｔ）exp(-ｓｔ）ｄｔ
0
及び
s = σ + ｊω
でした。
σ=0 つまり、実軸を0（時間的な変化がない状態）にして、
s=ｊωとして虚軸の振る舞いを考えれば
ラプラス変換は
∞
F（jω）＝∫ｆ（ｔ）exp(-jωｔ）ｄｔ
0
となります。
積分範囲と係数の違いはありますが、
この式はフーリエ変換ですね。
ということで、
フーリエ変換は
ラプラス変換を定常状態（=系の過渡的な状態を除外したもの）に
着目したものとも言えそうです。
今のところ理解しているのはこれくらいです。
複素関数論が多少見えてくれば少しは違うのでしょうかねえ？
＊＊＊＊＊＊＊＊＊
最後まで読んでいただいた方
お疲れ様でした。 <(_ _)>
