前回の投稿では奇数だけを足していく等差数列は足した回数を2乗すればいいと言いました。今日はなぜそうなるのかを教えたいと思います。
解説
ガウスのお話を知っている方は多いのではないでしょうか。
1+2+3+・・・97+98+99+100=
彼がまだ幼い時に彼の先生はこの問を出したと言います。すると、ガウス少年はすぐに答えたというのです。因みに答えは5050。
ガウスはこう考えました。
1 + 2+ 3・・・+98+99+100
100+99+98・・・ +3+ 2+ 1
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↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
(101+101+101・・101+101+101)÷2
＝(101×100コ)÷2
＝5050
本題でも、
1+ 3+ 5・・・95+97+99
99+97+95・・ ・5+ 3+ 1
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↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
(100+100+100・・100+100+100)÷2
(100×{99+1}÷2)÷2
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足した個数は(最後に足した数字＋1)を2で割れば良いことがわかります。
＝100×50×1/2
＝50の2乗
最後の数をxとすると、(x+1)の半分を2乗するだけで出て来ます。また、この考え方はこんな図形を元にしたものだと私は思います。
① ② ③ ・・・
○ ○ ● ○○ ●
● ● ○○ ●
● ● ●
碁石で 数字の分の長さを一辺とする正方形を作っていくと、増える石(●のところ)は＋１、＋３、＋５・・・になっています。
ここで奇数だけを足していく等差数列のお話を終わりたいと思います。読んでくださり、ありがとうございました!次回も期待してください。さよなら！