空集合が任意の集合の部分集合であること

※空集合の表記

ここでは空集合をΦで表すことにする。

○定理

空集合は任意の集合の部分集合である。

すなわち、任意の集合Aに対してΦ⊂A

○部分集合とは

集合A,Bに対して

a∈A⇒a∈B

が成り立つとき、

AはBの部分集合であるといい

A⊂Bと表す。

○定理の証明

部分集合の定義より、

Φ⊂A

⇔

a∈Φ⇒a∈A

⇔

(a∈Aでない)⇒(a∈Φでない)（対偶）

どんな要素aに対しても(a∈Φでない)は成り立つので、これは正しい。

したがって、任意の集合Aに対してΦ⊂Aは成り立つ。

（証明終わり）

（※）

命題pが偽のときは、命題「pならばq」の真偽が必ず真になることを知っていれば、

  a∈Φ⇒a∈A

が真であることが直ちにわかる。