追記：書き直した記事もよければどうぞ。
双曲線関数とは、次のように定められる関数のことである。
coshθ=(expθ+exp(-θ))/2
sinhθ=(expθ－exp(-θ))/2
tanhθ=sinhθ/coshθ
（expθは指数関数eᶿ）
双曲線関数は、双曲線をパラメータ表示するのに使う。（cf.三角関数と円のパラメータ表示）
実際、定義から簡単に
cosh²θ－sinh²θ=1
がわかるから、
(x,y)=(coshθ,sinhθ)
⇒x²－y²=1
である。
双曲線関数のグラフ
特にy=coshxのグラフは、懸垂線（紐が垂れた形）という。
双曲線関数の性質①
coshθ+sinhθ=expθ
coshθ－sinhθ=exp(-θ)
cosh²θ－sinh²θ=1
cosh(-θ)=coshθ
sinh(-θ)=-sinhθ
coshθ≧1
coshθ＞sinhθ
-1<tanhθ<1
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（証明）
定義から簡単にわかる。
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双曲線関数の加法定理
（三角関数の加法定理に似ている）
cosh(α+β)
=coshαcoshβ+sinhαsinhβ
sinh(α+β)
=sinhαcoshβ+coshαsinhβ
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（証明）
（2倍してあるのは、いちいち/2を書くと見にくいからなので特に意味はない）
2cosh(α+β)
=exp(α+β)+exp(-(α+β))
=expαexpβ+expαexp(-β)
－expαexp(-β)+exp(-α)exp(-β)
=expα(expβ+exp(-β))
－exp(-β)(expα－exp(-α))
=2expαcoshβ
－2exp(-β)sinhα
=2(coshα+sinhα)coshβ
－2(coshβ－sinhβ)sinhα
=2coshαcoshβ+2sinhαcoshβ
－2sinhαcoshβ+2sinhαsinhβ
=2(coshαcoshβ+sinhαsinhβ)
∴cosh(α+β)
=coshαcoshβ+sinhαsinhβ
2sinh(α+β)
=exp(α+β)－exp(-(α+β))
=expαexpβ+expαexp(-β)
－expαexp(-β)－exp(-α)exp(-β)
=expα(expβ+exp(-β))
－exp(-β)(expα+exp(-α))
=2expαcoshβ
－2exp(-β)coshα
=2(coshα+sinhα)coshβ
－2(coshβ－sinhβ)coshα
=2coshαcosβ+2sinhαcoshβ
－2coshαcoshβ+2coshαsinhβ
=2(sinhαcoshβ+coshαsinhβ)
∴sinh(α+β)
=sinhαcoshβ+coshαsinhβ
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加法定理②
cosh(α－β)
=coshαcoshβ－sinhαsinhβ
sinh(α－β)
=sinhαcoshβ－coshαsinhβ
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（証明）
加法定理でβを-βで置き換える。
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「2倍角の公式」
（変数はもはや角ではないのだが…）
cosh(2α)
=cosh²α+sinh²α
=2cosh²α－1
=1+2sinh²α
sinh(2α)
=2sinhαcoshα
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（証明）
加法定理でβ=αとする。
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「3倍角の公式」
cosh(3α)
=4cosh³α－3coshα
sinh(3α)
=4sinh³α+3sinhα
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（証明）
加法定理でβ=2αとする。
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積→和公式
coshαcoshβ
=(1/2)(cosh(α+β)+cosh(α－β))
sinhαsinhβ
=(1/2)(cosh(α+β)－cosh(α－β))
sinhαcoshβ
=(1/2)(sinh(α+β)+sinh(α－β))
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（証明）
加法定理より
cosh(α+β)+cosh(α－β)
=2coshαcoshβ
他も同様。
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和→積公式
coshA+coshB
=2cosh((A+B)/2)cosh((A－B)/2)
coshA－coshB
=2sinh((A+B)/2)sinh((A－B)/2)
sinhA+sinhB
=2sinh((A+B)/2)cosh((A－B)/2)
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（証明）
積→和公式で
A=α+β，B=α－β
とおく。
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双曲線関数の微分
（三角関数の微分に似ている）
'でθによる微分を表すことにする。
(coshθ)'=sinhθ
(sinhθ)'=coshθ
(tanhθ)'=1/cosh²θ
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（証明）
(coshθ)'
=(expθ+exp(-θ))'/2
=(expθ－exp(-θ))/2
=sinhθ
他2つも同様。
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双曲線関数の積分
（積分定数をCとする。）
∫coshθdθ=sinhθ+C
∫sinhθdθ=coshθ+C
∫tanhθdθ=log(coshθ)+C
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（証明）
∫tanhθdθ
=∫(sinhθ/coshθ)dθ
=∫((coshθ)'/coshθ)dθ
=log(coshθ)+C
他2つは微分の逆を考えればよい。
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三角関数との関係
（双曲線関数が三角関数と似た性質を持つのは、三角関数と指数関数がオイラーの公式によって関係付けられていることによる。）
cosh(iθ)=cosθ
sinh(iθ)=isinθ
（ただし、iは虚数単位）
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（証明）
オイラーの公式:
exp(iθ)
=cosθ+isinθ…①
より、
exp(-iθ)
=cos(-θ)+isin(-θ)
=cosθ－isinθ…②
①+②より
exp(iθ)+exp(-iθ)=2cosθ
⇔2cosh(iθ)=2cosθ
⇔cosh(iθ)=cosθ
①－②より
exp(iθ)+exp(-iθ)=2isinθ
⇔2sinh(iθ)=2isinθ
⇔sinh(iθ)=isinθ
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加法定理の別証明
三角関数の加法定理から双曲線関数の加法定理を証明できる。
（似ているのは偶然ではない。）
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（証明）
cosh(α+β)
=cosh(i(-iα-iβ))
=cos(-iα-iβ)
=cos(iα+iβ)
=cos(iα)cos(iβ)
－sin(iα)sin(iβ)
=cosh(i²α)cosh(i²β)
－(-isinh(i²α))(-isinh(i²β))
=cosh(-α)cosh(-β)
－i²sinh(-α)sinh(-β)
=coshαcoshβ
+(-1)²sinhαsinhβ
=coshαcoshβ+sinhαsinhβ
sinhについても同様。
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双曲線関数のマクローリン展開
cosh(0)=1,sinh(0)=0なので
coshθ
=1+θ²/2+θ⁴/24+…
…+θ²ⁿ/(2n)!+…
sinhθ
=θ+θ³/6+θ⁵/120+…
…+θ²ⁿ⁺¹/(2n+1)!+…