１４：相対運動（１）
運動を記述するためには２つ以上の対象が存在しなければなりません。運動は一般的に相対的で、一方の対象は他の対象に対して運動しているからです。運動の時空間的記述は本質的に言って対象が存在する部分空間と関連していません。私たちは少なくとも２つの対象を考察するのみです。
ここで、局所的な観点に立って、２つの対象の座標の差がほとんどないものと仮定しましょう。次に、２本の曲線を、１本は対象１が存在する部分空間の中に、もう１本は対象２が存在する部分空間の中に引きます。ここで、対象1の観点から対象2の内的性質の変化を記述しましょう。ただし、対象１と一緒に立っている観測者は曲線１に沿って標準スカラー・パラメーターが限りなく微小な量ｄｓだけ変化するように移動するものとします。また、私たちの目的のために変化し、かつ測定できる性質として反変ベクトルのΔ密度℘<i>を選びましょう（記号<i>はiが℘の上付きであることを意味しています）。こうすると、結果として与えられる変化はＤ℘<i>／ｄｓとして記述されます。これは曲線１と結ばれた幾何学的対象でもあります。なお、℘<i>は曲線２上に存在していますから、Ｄ℘<i>／ｄｓを計算するためには℘<i>を曲線２から曲線１に２回移動させなければなりません。
では、Ｄ℘<i>／ｄｓを具体的に求めてみましょう。はじめに、説明にしたがって作図しましょう。
まず、２本の曲線を適当な間隔、適当な長さでほぼ平行に引きます。そして、上の曲線を対象２、下の曲線を対象１とします。次に、対象２の曲線上に左から順に適当な間を空けて点０と２を取ります。それから、点０から真下に向かって直線を引き、対象１の曲線と交わった点を１とします。同様にして、点２からこの直線とほぼ平行に直線を引き、対象１の曲線と交わった点を３とします。
次に、対象２の曲線上の点０から点２の方向（対象１の曲線上では点１から点３の方向）への演算をＤとし、対象２の曲線上の点０から対象１の曲線上の点1の方向（同様に、対象２上の点２から対象１上の点３の方向）への演算をＤ(-)とします（なお、記号(-)は記号－をＤの上に引くことを意味しています。ただし、これはＤと方向が異なることを意味しいるにすぎません）。
ここで、点０における反変ベクトルを℘<i>とします。すると、点２における反変ベクトルはこれにＤの演算を加えることによって℘＋Ｄ℘<i>となります。次に、点３における反変ベクトルは点２における反変ベクトルとこれにＤ(-)の演算をした反変ベクトルを加えることによって次式で与えられます。すなわち、
℘<i>＋Ｄ℘<i>＋Ｄ(-)℘<i>＋Ｄ(-)Ｄ℘<i>．・・・（１）
これは、点０での反変ベクトルが点０，２，３を通って点３に達した場合の反変ベクトルを意味しています。
これと別に、点０，１，３の経路を通って点３に達する場合があります。この場合は、まず、℘<i>にＤ(-)の操作を加えて点１での反変ベクトルとして℘<i>＋Ｄ(-)℘<i>が与えられます。次に、点３での反変ベクトルですが、これは点１での反変ベクトルとこれにＤの操作を加えた結果を足すことによって与えられます。すなわち、
℘<i>＋Ｄ(-)℘<i>＋Ｄ℘<i>＋ＤＤ(-)℘<i>．・・・（２）
ここで、経路｛０，２，３｝と｛０，１，３｝を通って点３に達した時の値℘<i>の差Ｄ℘<i>を上記（１），（２）式から求めると、近似的に次のようになります。すなわち、Ｄ℘≒Ｄ(-)Ｄ℘<i>－ＤＤ(-)℘<i>．
こうして、Ｄ℘<i>／ｄｓとして次式が与えられます。すなわち、
Ｄ℘<i>／ｄｓ≒lim（Δｓ→０）（Ｄ(-)Ｄ℘<i>－ＤＤ(-)℘<i>）／Δｓ・・・（３）
≒［Ｒ<i>[jkl]℘<l>－Ｆ[jk]℘<i>－２Ｔ<p>[jk]∇[p]℘<i>］（ｄｘ<k>[2]／ｄｓ）Δｘ<j>[12]．
私たちはここでは近似的な記述をしていますが、それは座標的距離Δｘ<j>[12]はベクトルではなく、また、たとえそれが小さいとしても、無限小ではないからです（なお、ｘの記号[12]ですが、これは数字12がｘの下付きであることを意味しています）。しかし、上の（３）式は大切な基本的な式であって、右辺の項は物理学的な力の概念に対応していること、テンソルＲ<i>[jkl]とＦ[jk]は場の強さとして解釈すべきであることを私たちに示しています。したがって、接続は度々話しているように、統一された物理学的場のポテンシャルなのです。
曲率テンソルの反対称縮約Ｆ[jk]は（３）式では独立した項になっています。なぜなら、私たちは密度を性質が変化するものと見なしているからです。ただし、純粋なテンソルの場合、この項は存在しません。なぜなら、スカラー密度の場合、この項は然るべき方程式の中に入っているからです。
ここで式（３）をベクトル密度の代わりに接線ベクトルｄｘ<j>[2]／ｄｓに応用し、Δｘ<j>[12]→０とすると、結果として与えられる方程式は正確な式となり、かつ次のような測地線の方程式となります。すなわち、
（Ｄ／ｄｓ）（ｄｘ<i>／ｄｓ）＝０．
これは、私たちの相対運動の記述に矛盾がなく、つじつまが合っていることを示しています。ただし、境界領域での静止の記述は含まれていますが、内的観点からのそれ自身に関する運動は入っていません。