１７：古典的場（１）
任意の座標系における古典的粒子の軌道の方程式は、軌道ｘ<i>[1]＝ｘ<i>[1]（ｓ）のパラメーターｓを標準的に選ぶことによって、測地線と同様に次の形で記述されます。すなわち、
ｄ<2>ｘ<i>[1]／ｄｓ<2>＋Γ<i>[jk]（ｄｘ<j>[1]／ｄｓ）（ｄｘ<k>[1]／ｄｓ）＝０．
・・・（１）
軌道に沿っての固有作用量密度－ｉкゑ(-)の保存条件は次のように記述されます。すなわち、
ｄゑ(-)／ｄｓ－Γ[j]（ｄｘ<j>[1]／ｄｓ）ゑ(-)＝０．・・・（２）
ただし、この条件は古典的粒子の軌道における次のアフィン接続の式と等価です。
Γ[j]＝∂[j]ln（ゑ(-)／ゑ(-)[0]）．・・・（３）
この式について少し説明をしておきましょう。lnゑ(-)の書き方ですが、ここではゑ(-)はサイズ的な量を表わしています。しかし、次元数と混同してしまう恐れがあります。そこで、サイズ的に一定な値ゑ(-)[0]を使って無次元量とし、これに対数記号を付けることにしました。
式（２）から明らかなように、この式ではサイズ的な関係がはっきりと示されています。軌道上においてこの方程式を解くと、解は次のように表わされます。
ゑ(-)＝ゑ(-)[0]・exp∫Γ[j]（ｄｘ<j>[1]／ｄｓ）ｄｓ．・・・（４）
ただし、ゑ(-)[0]はサイズ的な定数で、汎関数部分の指数は独立変数で無次元量になっています。