前回の問題の解答例です。
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変数変換Ｘ＝ｘ，Ｙ＝ｙ／aによりＣ１，Ｃ２がそれぞれＤ１，Ｄ２に移るとします。
Ｄ１，Ｄ２の方程式はそれぞれ
① Ｄ１： Ｘ＾２＋Ｙ＾２＝１，
② Ｄ２： Ｙ＝２Ｘ－３
となります。
Ｐ，Ｑの距離が最小となるのはＰにおける接線がＣ２と平行になる場合（のうちのいずれか）です。
Ｄ１，Ｄ２はそれぞれＣ１，Ｃ２をｙ軸方向に１／a倍にした図形なので、（距離が最小となる）Ｐに対応するＣ２上の点をＰ´とすると、Ｐ´におけるＤ１の接線はＤ２に平行になります。
一般に、Ｄ２に平行な直線の方程式は実数ｋを用いて
③ Ｅ（ｋ）： Ｙ＝２Ｘ－３＋ｋ
と表されます。（これはＤ２をＹ軸方向にｋだけ平行移動させた直線です）
①，③を連立させると
④ Ｘ＾２＋（２Ｘ－３＋ｋ）＾２－１＝５Ｘ＾２＋４（ｋ－３）Ｘ＋（ｋ－３）＾２－１＝０
が得られます。
④の判別式Ｆは
⑤ Ｆ＝１６（ｋ－３）＾２－２０（ｋ－３）＾２＋２０＝２０－４（ｋ－３）＾２
なので、Ｆ＝０となるのはｋ＝３±√５の場合です。
Ｅ（ｋ）とＤ２の距離は｜ｋ｜に比例するので、Ｐ´がＤ２に最も近い点となるのは、ｋ＝３－√５のときです。
ＸＹ平面上のＥ（ｋ）をＹ軸方向にa倍してｘｙ平面上の直線Ｅ´（ｋ）に移すと、このＥ´（ｋ）はＣ２をｙ軸方向にaｋだけ平行移動させた直線になります。
Ｅ´（ｋ）がｘ軸となす角度をθを置くと、ＰとＣ２との距離ｄは
⑥ ｄ＝｜aｋcosθ｜
となります。cosθ＝１／√（１＋４a＾２）と表されるので、ｋ＝３－√５のときには、
⑦ ｄ＝（３－√５）a／√（１＋４a＾２）
となります。
よって求める最短距離は（３－√５）a／√（１＋４a＾２）となります。
（２） （１）より、a → ∞ の極限において
ｄ＝（３－√５）／√（４＋１／a＾２） → （３－√５）／２ （a → ∞）
となります。
よって求める極限値は（３－√５）／２であることが分かります。
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ｙ軸方向に１／a倍させて考えると分かりやすくなる問題でした。阪大数学は計算の面倒な問題が多いので、こうした工夫で計算の負担を減らしたいところですね。