２０１４年の東北大理系数学です。
http://server-test.net/math/php.php?name=04_tohoku&v1=1&v2=2014&v3=1&v4=6&y=2014&n=6
これはちょっと難問かも。
以下に解答例を記します。
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（１）
① ｆ´（ｘ）＝（ｎ＋１）／（a＋ｘ）－１／ｘ＝（ｎｘ－a）／ｘ（a＋ｘ）
② ｆ´´（ｘ）＝１／ｘ＾２－（ｎ＋１）／（a＋ｘ）＾２
①よりｆ´（ｘ）＝０となるのはｘ＝a／ｎのときで、このとき
ｆ（ｘ）＝（ｎ＋１）log a／ｎ－ｎ log a／ｎ－log a／ｎ＝０
また②より、このときｆ´´（ｘ）＝a＾２・ｎ＾３／（ｎ＋１）＞０となります。
よってｆ（ｘ）が極値をとるのはｘ＝a／ｎのときで、このとき極小値０をとることがわかります。
（２） 与えられた不等式の左辺をＡ（ｎ），右辺をＢ（ｎ）とし、Ｐ（ｎ）＝ｎ[log Ａ（ｎ）－log Ｂ（ｎ）]と置くと、
Ｐ（２）＝２[log（７／４）－log√３]
（７／４）＾２＝４９／１６＞３より７／４＞√３なので、
③ ０＜Ｐ（２）
２≦ｎに対し、Ｑ（ｎ）＝Ｐ（ｎ＋１）－Ｐ（ｎ）と置き、a（ｎ）＝ｎＡ（ｎ），ｘ（ｎ）＝（ｎ＋２）／（ｎ＋１）とすると
Ｑ（ｎ）＝（ｎ＋１）[log Ａ（ｎ＋１）－log Ｂ（ｎ＋１）]－ｎ[log Ａ（ｎ）－log Ｂ（ｎ）]
＝（ｎ＋１）[log [a（ｎ＋１）／（ｎ＋１）]－１／（ｎ＋１）・log （ｎ＋２）]－ｎ [log [a（ｎ）／ｎ]－１／ｎ・log （ｎ＋１）
ここで、a(ｎ＋１)＝a（ｎ）＋（ｎ＋２）／（ｎ＋１）＝a（ｎ）＋ｘ（ｎ）が成り立つので、
④ Q（ｎ）＝（ｎ＋１）[log [a（ｎ）＋ｘ（ｎ）]－log （ｎ＋１）]－ｎ[log a（ｎ）－log ｎ]－log ｘ（ｎ）
④の右辺は a＝a（ｎ），ｘ＝ｘ（ｎ）としたときのｆ（ｘ）に等しく、しかも０＜a（ｎ），０＜ｘ（ｎ）なので、（１）の結果から０≦ｆ（ｘ）が成り立ちます。
すなわち
⑤ ０≦Q（ｎ）
③，⑤より
⑥ ０＜P（ｎ） （２≦ｎ）
P（ｎ）の定義から、⑥により
⑦ A（ｎ）＞B（ｎ） （２≦ｎ）
となり、題意は証明されました。
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（２）は東大でもそうそう出ないレベルの難問です。
本番ではなかなかQ（ｎ）には気づかないんじゃないかと思います。
少し考えて無理だと思ったら見切りをつけて、他の問題に時間を使った方がいいかもしれません。
（１）だけをきっちり確保しておけば十分だと思います。
本番ではそういう判断力も重要になってきますね。