(From the Herglotz trick.)
A great many corollaries can be derived from (1), the most famous of which concerns the values of Riemann's zeta function at even positive integers,
So to finish our story let us see how Euler ― a few years later, in 1755 ― treated the series (4). We start with formula (2). Multiplying (2) by x and setting y = πx we find for |y| < π:
The last factor is the sum of a geometric series, hence
and we have proved the remarkable result:
For all 
, the coefficient of y2k in the power series expansion of 
equals
There is another, perhaps much more "canonical", way to obtain a series expansion of . We know from analysis that 
, and thus
which yields
We now substitute z = 2iy, and get
Thus all we need is a power series expansion of the function ; note that this function is defined and continuous on all of 
(for z = 0 use the power series of the exponential function, or alternatively de l'Hospital's rule, which yields the value 1). We write
The coefficients Bn are known as the Bernoulli numbers. The left-hand side of (6) is an even function (that is, f(z) = f(-z)), and thus we see that Bn = 0 for odd n ≥ 3, while B1 = 
corresponds to the term of 
in (6).
From
we obtain by comparing coeffisients for zn:
We any compute the Bernoulli numbers recursively from (8). The value n = 1 gives B0 = 1, n = 2 yields 
, that is B1 = , and so on.
Now we are almost done: The combination of (6) and (7) yields
and out comes, with (5), Euler's formula for ζ(2k):
□
出典:Martin Aigner and Günter M.Ziegler. Proofs from THE BOOK P169. Chapter 25
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訳と補足:
正の偶数でリーマンのゼータ関数の値
に関係する、最も重要な多くの結果が(1)式から得られる。そして、級数(4)式を扱った、オイラーの方法(少し後の1755年)を見ようという話は終わる。(2)の公式から始める。(2)式にxを掛け、y = πxと置くと、|y| < πより
この最後の要素は幾何級数の和であり、これより
となり、注目すべき結果が示される。
全てので、を拡張したべき級数のy2kの係数は
に等しい。より標準的に、を拡張した級数を得る方法はもう1つある。解析学からがわかる。従って
となり、これは
を与える。ここで、z = 2iyに置き換えると
従って、関数
を拡張したべき級数が必要である。この関数は全てので連続的に定義されることに注意せよ。(z = 0で拡張されたべき級数を用いるか、代わりにロピタルの定理を用いると、1つの値をもたらす。)
と書ける。この係数Bnはベルヌーイ数として知られている。(6)式の左辺は偶関数(f(z) = f(-z))である。従って、n ≥ 3の奇数ではBn = 0で、B1 = は(6)式のの項に一致することがわかる。
より、
znの係数と比較することで得られる。ベルヌーイ数は(8)式から、再帰的に計算できる。n = 1の値はB0 = 1を与え、n = 2でを得る。よって、B1 = 等々。
すでに終わりに近く、(6),(7)式を合わせると
が得られ、ζ(2k)によるオイラーの公式と(5)式から
が導かれる。□
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前の項Herglotz trickで示したcotの級数表示を用いることで、ゼータ関数の部分的な解を得ることができた。バーゼル問題は、k=1のζ(2)に対応するので、もちろんこの式から簡単に得られる。しかし、この(9)式では、変数が奇数の場合の値を求めることができず、奇数の場合の一般解は未だ知られていない。
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