The proof consists in two different evaluations of the double integral
For the first one, we expand 
as a geometric series, decompose the summands as products, and integrate effortlessly:
This evaluation also shows that the double integral (over a positive function with a pole at x = y = 1) is finite. Note that the computation is also easy and straightforward if we read it backwards ― thus the evaluation on ζ(2) leads one to the double integral I.
The second way to evaluate I comes from a change of coodinates: in the new coordinate given by 
and 
the domain of integration is a square of side length 
, which we get from the old domain by first rotating it 45°and then shrinking it by a factor of 
. Substitution of x = u - v and y = u + v yields
To transform the integral, we have to replace dxdy by 2 dudv, to compensate for the fact that our coordinate transformation reduces areas by a constant factor of 2. The new domain of integration, and the function to be integrated, are symmetric with respect to the u-axis, so we just need to compute two times (another factor of 2 arises here!) the integral over the upper half domain, which we split into two parts in the most natural way:
Using 
, this becomes
These integrals can be simplified and finally evaluated by substituting u = sinθ resp. u = cosθ. Rut we proceed more directly, by computing that the derivative of 
is 
, while the derivative of 
is 
. So we may use 
and get
. □
出典:Martin Aigner and Günter M.Ziegler. Proofs from THE BOOK P53. Chapter 9
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訳と補足:
この証明は2つの異なった二重積分の計算から成る。
初めに、を幾何級数に拡張し、被加数の積に分解して簡単に積分する。
この(x = y = 1で極と正関数を超える)二重積分が示す計算は有限である。この計算は簡単で素直だが、以下のように考えるなら注意せよ。例えば、ζ(2)の計算は二重積分Iを導く。
次に、積分Iは座標変換によって得られる。元の変域を45°回転し、の範囲まで縮めると、新たな座標は積分区間とで得られ、一辺の正方形になる。x = u - v と y = u + vの代わりに
を与える。
変形した積分では、座標変換が定数2の範囲よりも減少することを補って、dxdy を 2dudvに替える必要がある。積分される新たな積分区間と関数は、u軸に関して対称で、最も自然な方法で2つの部分に分割した上半分の変域の積分を2回計算する(もう1つの2の範囲はここで生じる)必要がある。
を用いると、これは
となる。
これらの積分はそれぞれのu = cosθをu = sinθに代えるため、最終的な計算は簡単にされる。しかし、の導関数を、の導関数をと計算すると、より直接的に得られる。よってを用いると
□
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まず、私の読解力では確実とは言い切れない和訳であるため、誤訳があった場合は先に謝っておきたい。図についてはExcelで適当に作成したため、原典のものよりも粗末である。何か良い作図ソフトがあれば紹介していただきたい。
今回は有名なバーゼル問題の証明の1つに触れた。これはζ関数の変数2の値でもあるため、特に整数論の分野で度々目にするだろう。
ただ単に初めの級数をなぞるだけでは、なぜ値が集束するのか、なぜπが現れるのか疑問が解消されないであろうが、この証明では、積分を用いることで視覚的に値が集束することがわかる。
ζ関数については盛んに研究されているため、これを足掛かりに議論を深めていけると良い。
補足としては、πの無理性の証明の結果を用いると、π2/6という値は無理数であることがわかる。
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