@i.softbank.jpのみ「メールを受信しました You got a mail」という通知が来るようです。
これを活用して他のところに来たメールも通知するようにしてみましょう！
Gmailは他のPOP3メールを受信できる機能が付いています、
まずそれに使っているPOP3のメールを設定。
次に転送設定をします。
1.Gmail ページの上部にある [設定] をクリックします。
2.[設定] ボックスの上部にある [Forwarding and POP/IMAP (転送POP/IMAP 設定)] をクリックします。
3.メッセージの転送先のメール アドレスを入力します。 (@i.softbank.jp)
4.プルダウン メニューでメッセージの操作を選択します。 メッセージのコピーを信トレイに保存したり、[すべてのメール] や [ゴミ箱] に自動的に移動するよう設定できます。
7.[変更を保存] をクリックします。
これでOKです。
相手→（メール送信）→@gmail→（転送）→@i.softbank.jp→（SMS新着通知）→自分
そしてメールアプリ起動→（@gmail受信メール読み込み）→着信音/バイブ→受信メールを読む
という感じになります。
【関連】
【アプリ】iBiff Lite(新着メールバイブ)の使い方