ためしてガッテンの「マンモグラフィー検査が間違う確率」に詳しくなろう！
ガッテンの7/6放送：「数字トリック見破り術」で、
マンモグラフィー検査が間違う確率が９％ということで、
その数字にまつわる「数字のトリック」が説明されていましたが、
ここではそれを詳細に解説してみたい！
乳がんではない女性が、間違って「がんの疑い」と判定されてしまう確率は９％
みんな、この数字の低さに簡単にダマされてしまうのです！
・実はそうではありません。そのＡさんが乳がんである確率は、およそ３％しか
ない
なぜ３％位しかないのか？
実は、そもそもの、「この病気にかかっているのは1000人に３人位の割合である」という、「基準率」を忘れている （←知らされていない！ と言った方が正確かも・・・）
のです！
基準率が０．３％のものに対して、その病気でないのに陽性or要検査と出る確率の
９％が高すぎるから、このような直感のズレが生じてしまうのです。
この問題は一般に「感染者問題」と言われているようで、その解き方はこうです：
（解） Ｅ ： 陽性反応が出る事象 、Ｍ ： 疾病 Ｍ に罹患している事象 とすると、
求める確率は、陽性反応が出た時に疾病 Ｍ に罹患している確率Ｐｅ（Ｍ）。
Ｍｃとは、事象Ｍのcomplementつまり補集合のことである。
※記号的には、Ｐｅ（Ｍ）のｅは大文字の添字で書くべきだが、テキスト形式
では書けないので、このようにした。また、Ｐ（Ｍｃ∩Ｅ）のｃは肩の位置に
書くべきだが、テキスト形式では書けないのでこのようにした。
Ｐ（Ｅ）＝Ｐ（Ｍ∩Ｅ）＋Ｐ（Ｍｃ∩Ｅ）
＝（３／１０００）（仮に９９／１００）＋（９９７／１０００）（９／１００）
＝０．００２９７ ＋ ０．０８９７３
＝０．０９２７
Ｐ（Ｍ∩Ｅ）＝０．００２９７だったから、求める確率Ｐｅ（Ｍ）＝Ｐ（Ｍ∩Ｅ）／Ｐ（Ｅ）から
Ｐｅ（Ｍ）＝０．００２９７/０．０９２７≒０．０３２０３８８となり、
陽性反応が出た時に疾病 Ｍ に罹患している確率は、３．２％位となる。
ここで、疾病Ｍに罹患している人での陽性反応が出る確率を「仮に」９９％とした。
疾病Ｍに罹患していない人でも９％の割合で陽性反応が出ていた。
疾病Ｍに罹患している人の割合はおよそ０．３％であるという統計があった。
ちなみに、（仮に９９／１００）の部分を（仮に１００／１００）としても、
０．００３３３／０．０９３０６≒０．０３５７８となり、そんなに数字は変わらない！
真っ先に知るべきなのは、「基準率」 base-rate なのです。
基準率を無視あるいは過小評価してはいけないのです！
特に、「基準率」と「間違って陽性反応or要検査と出る確率」が大きく違っていたら、
０．３％ ９％
本当に陽性である確率を計算した方がいいのです。
参考にしたもの：
「ベイズの定理」
from 【私的数学塾】さん
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/probability/bayes.htm
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別の例で、おさらいしておきましょう。
疾病Ｍに感染している人の割合は1000人に1人の割合
ある検査薬を使うと、感染している人の場合には98％陽性反応が出る
感染していない人の場合には99％陰性反応が出る
ある人がこの検査薬で陽性反応が出た場合、この人が本当に感染している確率は
８．９％しか無いのです！ にわかには信じられないですが・・・
上記と同じ方式で、計算してみましょう。
Ｐ（Ｅ）＝Ｐ（Ｍ∩Ｅ）＋Ｐ（Ｍｃ∩Ｅ）
＝（１／１０００）（９８／１００）＋（９９９／１０００）（１／１００）
＝０．０００９８ ＋ ０．００９９９
＝０．０１０９７
求める確率Ｐｅ（Ｍ）＝Ｐ（Ｍ∩Ｅ）／Ｐ（Ｅ）から
Ｐｅ（Ｍ）＝０．０００９８/０．０１０９７≒０．０８９３３４