tan1°の問題

tan1°は有理数か無理数か？という問題が京都大学の入試に出たらしい。
(2006年度)

解きたい人はこのブログの最後に解法を載せるのでまず解いてみて！
三角関数の加法定理とかは忘れてる人も多いと思いますが、
捻出するのは面倒なのでググるのオッケーで。

他のフツーの高校数学の問題より以下の点でいいと思う。

問題に意義がある：
この問題は、斜辺を除く辺の長さが整数の直角三角形で1°を書けるか？という意味になる。

直感が重要：
直感で無理数だと思わないとなかなか難しいんじゃないかと。

論理性が重要：
実際にtan1°を求めようとしなくてもこの問題が解けるということが重要。

典型例を思い出せるかどうかも重要：
√2が無理数であることを証明する手順などは既に習っていることだろうが、
それを思い出せるとすんなり行ける。


-----以下解答-----

tan1°が有理数と仮定する。

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanA・tanB)

なので、tanA,tanBがともに有理数であればtan(A+B)は有理数。
（↑は証明が必要なことかも。それぞれa/b, c/dとおけばオッケー）

A=C,B=1のときを考えると、
tanCが有理数であればtan(C+1°)は有理数。

tan1°は有理数なので、数学的帰納法によりtanN（Nは自然数）は有理数となる。

ここでtan60°=√3で無理数なので
（ここも証明が必要なら√3=a/bとか置いて二乗して互いに素の論理を利用）↑と矛盾。
背理法によりtan1°は有理数ではない⇔無理数である。


-----解答終わり-----
ちなみに問題！

tanAが有理数となる最小の自然数Aはいくらか。（角度の単位は°ね）

ちょっと考えてみて。答えは次回。これも直感大事だよ。