渋谷幕張高校の入試問題です。
【問題】
（1） x+y=a, x-y=b のとき
a^2+b^2, a^2-b^2 をそれぞれx，yを使って表しなさい。
（2）連立方程式
x^2+xy+y^2=1・・・①
x/y+y/x=3・・・②
を解きなさい。
【解説】私大の入試でよく見かけるパターンです。
（1）x+y=a, x-y=b をそれぞれ両辺2乗すると
x^2+2xy+y^2=a^2
x^2-2xy+y^2=b^2
足し算すると a^2+b^2=2(x^2+y^2)
引き算すると a^2-b^2=4xy
（2）
②の両辺xyをかけると
x^2+y^2=3xy・・・③
①式を
（x^2+y^2)+xy=1
と見ると，（x^2+y^2)の部分を③式より3xyに置き換えることができます。
3xy+xy=1
4xy=1・・・④
また④を③に代入すると
x^2+y^2=3/4
両辺2倍して
2(x^2+y^2)=3/2・・・⑤
④⑤を（1）の結果と見比べると
a^2+b^2=3/2 ・・・⑥
a^2-b^2=1 ・・・⑦
⑥＋⑦より
2a^2=5/2
a=±√5/2
⑥－⑦より
2b^2=1/2
b=±1/2
x+y=a, x-y=b より
2つの式を加えて 2x=a+b, x=(a+b)/2
引くと 2y=a-b, y=(a-b)/2
a=√5/2，b=1/2 のとき
x=(√5+1)/4, y=(√5-1)/4
a=√5/2，b=-1/2 のとき
x=(√5-1)/4, y=(√5+1)/4
a=-√5/2，b=1/2 のとき
x=(-√5+1)/4, y=(-√5-1)/4
a=-√5/2，b=-1/2 のとき
x=(-√5-1)/4, y=(-√5+1)/4
以上4通りの解があります。