【問題】
平面上に2つの曲線
y＝x^2・・・(1)
y＝3x^2+24x+50・・・(2)
がある。このとき1点Pをとり，曲線(1)上の任意の点Aに対して，線分APを一定の比m：n（m＞0，n＞0）に内分する点Bが必ず曲線(2)上にあるようにしたい。
点Pの座標（α，β）と比m：nの値とを求めよ。
【解説】
点A（a，a^2），点B（b，3b^2+24b+50)とおくことができます。
APをm：nに内分した点がBであるということから関係式
b＝（na+mα)/(m＋n)
3b^2+24b+50＝(nb^2+mβ)/(m+n）
を出すことができます。
ただし，m，nが分数で複雑になるので
m/(m+n)＝t とおくことで，n/(m+n)＝1-t となり，m,nを1文字tで表すことができます。
いわゆるt：(1-t)という比の作り方です。m，n＞0より，0＜t＜1です。
関係式を書き直すと
b＝(1-t)a＋tα ・・・①
3b^2+24b+50＝(1-t)a^2+tβ ・・・②
文字がa,b,t，α，βと5つもあるのに式が2つしかないですが
この①②が「任意のaでなりたつ」という条件があるのでt，α，βを求めることができます。
bを消去すると
3{(1-t)a+tα}^2＋24{(1-t)a+tα}+50＝(1-t)a^2+tβ
3(1-t)^2・a^2+｛6t(1-t)α+24(1-t)}a＋{3t^2α^2+24tα+50}＝(1-t)a^2+tβ
これが aについての恒等式になればよいので，係数を比較して
3(1-t)^2＝(1-t) ・・・③
6t(1-t)α+24(1-t)＝0 ・・・④
3t^2α^2+24tα+50＝tβ ・・・⑤
③より 1-t＝1/3，0 0＜t＜1 より t＝2/3
④に代入して α＝-6
⑤に代入して β＝3
よって，P（-6，3） m：n＝t：(1-t)＝2/3：1/3 比の値＝2
注1 比m：nのとき，比の値とはm/nのことです。（算数の教科書にはありますが，高校の教科書には比の値の説明はありません。）
注2 放物線をある点を中心に相似拡大したとき，x^2の係数が変わってきます。 k倍にすると x^2の係数は1/k倍されます。
注3 放物線を相似拡大したとき，頂点は頂点に移ります。ただしこの事実を知っていても，記述で使うにはそれ自身の証明が必要になります。 答を予想したり，検算するときには役立ちます。
本問でも， （1）（2）の頂点（0,0)，（-4,2) と相似の中心P（-6,3)は確かに一直線上にあり，1:2の内分という条件も満たしています。