【問題】平面上において，二定点A，Bを両端とする任意の円弧の三等分点のうちAに近い方の点の軌跡を求めよ。
【解説】
自分で座標設定をして，答案を仕上げる必要があります。
図のように，A（-a，0)，B（a，0）と設定します。
三等分点をP，Qとすると
弧AP＝弧PQ＝弧QBなので
弦も等しくなり，AP＝PQです
対象性より，PQ⊥y軸，かつ，PQとy軸の交点HはちょうどPQの中点になります。
したがって
AP＝2PH ・・・①
逆に，①ならば，APQBは等脚台形になるので，同一円周上にあり，弧AP＝PQ＝QBが成り立ちます。
Pを(x，y）とすると
①より
(x＋a）^2＋y^2＝4x^2
変形して
3x^2－2ax－a^2－y^2＝0
3（x－a/3)^2－y^2＝4/3・a^2
これは双曲線を表し，
（x－a/3）^2/（2/3a)^2－y^2/（2/√3・a)^2＝1
ただし，x＜0の範囲になります。
また，線分ABは弧ABとはいえないので，双曲線とx軸の交点である（-a/3，0）は除きます。