【問題】
平面上の2点P(x,y)，Q（X，Y）の座標の間に
X＝x/（x^2＋y^2)
Y＝-y/(x^2＋y^2)
という関係がある。
このとき，点P(x,y)が不等式
(4x+3y-5)(4x-3y+5)＞0
で表される範囲を動くとき，点Q（X，Y）はどのような範囲を動くか。
【解説】
本題の点PとQの関係は”反転”という座標変換で，大学数学では有名な事実です。
入試のネタによく登場します。似たものに”リーマン球面”もあります。
これらは，直線⇔円に変換するものです。
ネットで検索してみてください。
解の方針は単純です。
X＝x/（x^2＋y^2) ・・・①
Y＝-y/(x^2＋y^2) ・・・②
①②式を同値変形して，xとyをそれぞれ，X，Yの式で表す。
その式を 不等式
(4x+3y-5)(4x-3y+5)＞0 ・・・③
に代入して，XとYのみの不等式を求めて，図示する。
ただし，実際の計算は，少々工夫をしないと骨が折れます。
①^2＋②^2
X^2＋Y^2＝1/（x^2＋y^2） ・・・④
①より
x＝X・（x^2＋y^2）
④より （x^2＋y^2）＝1/（X^2＋Y^2)なので
x＝X/（X^2＋Y＾2） ・・・⑤
同様に
y＝－Y/（（X^2＋Y＾2） ・・・⑥
※ ⑤⑥と①②は同値関係であることを答案には明言してください。
⑤⑥を不等式③に代入し
分母の（X^2＋Y^2）を払うと
（4X-3Y-5X^2-5Y^2)（4X＋3Y＋5X^2+5Y^2)＞0
平方完成をすると
｛（X-2/5）＾2＋（Y＋3/10）＾2-（1/2）＾2｝｛（X＋2/5）＾2＋（Y＋3/10）＾2-（1/2）＾2｝＜0
これは，2つの円
円A；中心（2/5，-3/10）半径1/2
円B；中心（-2/5.-3/10）半径1/2
の内部（ただし，円A，Bの重なり部分を除く）
になります。