2006年 筑波大附属駒場高校の入試問題です。
【問題】
3種類のお菓子A,B,Cがあり，1個の値段はそれぞれ140円，117円，94円です。これらのお菓子を組み合わせてn個買ったところ，代金はちょうど3000円になりました。
菓子Aをa個，菓子Bをb個買ったとして，次の問いに答えなさい。
（1）n，a，bの関係を等式で表しなさい。
（2）nの値を求めなさい。
（3）菓子A,B,Cの買った個数の組合せは何通り考えられますか。ただし，どの菓子も1個は買うものとする。
【解説】
（1）菓子Cは （n－a－b）個買ったことになるので
140a＋117b＋94(n-a-b)＝3000
式を整理して
46a＋23b＋94n＝3000 ・・・(答)
（2） （1）の答の式に代入してしらみつぶしに調べるとタイムオーバーになります。
整数を見つける問題では，
文字の係数が何の倍数になっているかに注目します。
この「何」にあたる数字は
素数あり，かつ大きいほど，計算が楽になります。
まずnの範囲を絞り込んでおきます。
一番高いお菓子をn個買ったとしたら
140n＝3000
n＝21.4・・・
一番安いお菓子をn個買ったとしたら
94n＝3000
n＝31.9・・
よって，22≦n≦31
(1)より
3000－94n＝23(2a＋b)
これは，3000－94n が23の倍数であることを意味します。
3000－94n を変形すると
23×130＋10－(23×4＋2)n
23(130－4n)＋（10－2n）＝23の倍数
よって，10－2n＝23の倍数 でなければならない
2(5－n)＝23の倍数
5－n＝23の倍数
ゆえに，n＝28 ・・・（答)
（3）n＝28 を(1)の式に代入して
46a＋23b＝368
23で割って
2a＋b＝16
このレベルなら，しらみつぶし が手っ取り早いです。
（a，b)＝(1，14）（2，12)（3，10）（4，8）（5，6）（6，4）（7，2）
いずれも，a＋bは28未満なので，お菓子Cの個数も1個以上になる
よって，7通り ・・・（答)