2005年の甲陽学院の問題です。
この学校は，高校入試ではめずらしい試験時間90分です。
通常は50～60分ですので，（最長は，灘高の110分）
じっくり考えるセットになっています。
【問題】
［ ］に適する数を入れよ。
nを自然数とする。1/nを小数で表したとき有限小数（小数第何位かで終わる小数）となるものを考える。
nが2以上10以下の自然数であるとき，1/nを小数で表したとき有限小数となるnは［ ］個ある。
また，nが2以上200以下の自然数であるとき，1/nを小数で表したとき有限小数となるnは［ ］個ある。
【解説】
まず，実験すると
1/2＝0.5→有限小数
1/3＝0.3333・・・→ダメ（循環小数 といいます）
1/4＝0.25→有限小数
1/5＝0.2→有限小数
1/6＝0.166666→ダメ
1/7＝0.142857142857・・・・ダメ
1/8＝0.125→有限小数
1/9＝0.1111・・・ダメ
答 4個
次は2～200なので，全部調べると時間がなくなります。
そこで，有限小数になる条件を考えます。
例えば，
8は125倍すると1000になるので
1/8＝125/1000＝0.125
になります。
nは何倍かすると10，100，1000，10000・・・になる数でなければなりません。
つまり，nは10，100，1000，10000・・・・の約数です。
さらに，言い換えてみます
10，100，1000，10000・・・・を素因数分解すると
素因数には，2か5しか出てきません。
したがって，nは素因数分解したとき
素因数に2か5しか出てこない数ということになります。
① 2＾□ のパターン
2＾1＝2， 2＾2＝4，～，2＾7＝128 の7個がOKです。
② 5×2＾□のパターン
5， 5×2＾1＝10， 5×2＾2＝20， ～，5×2＾5＝160 の6個がOK
③ 5＾2×2＾□のパターン
5＾2＝25， 5＾2×2＝50， 5＾2×2＾2＝100， 5＾2×2＾3＝200 の4個がOK
④ 5＾3×2＾□のパターン
5＾3＝125 の1個がOK
合計 7＋6＋4＋1＝18
答 18 個