３分計と５分計を同時にひっくり返して，３分計の砂が落ちきったところから時間を計り始めて，５分計が落ちきると，そこで「２分経過」。すぐに５分計をひっくり返して，５分計が落ちきると，「７分経過」ということになります。
これを式で表すと，
３×（－１）＋５×２＝７ ・・・①
これは，２元一次方程式の３χ＋５ｙ＝７の整数解χ＝-1，ｙ＝２を見つけたことになります。
ここで，いったん，砂時計の話からそれます。最後にまた砂時計の話に戻します。
３χ＋５ｙ＝７にあてはまるような整数χ，ｙの値の組（つまり，二元一次方程式３χ＋５ｙ＝７の整数解）は，その解が１つ見つかると，その解をもとにして，他の解は芋づる式に見つけることができます。これは，大学受験の勉強中に覚えたテクニカルな解法です。今でも覚えているのですから，当時はよほど印象深かったのでしょう。
３χ＋５ｙ＝７ ・・・②とおきます。
②－①をつくります。
３χ＋５ｙ－｛３×（－１）＋５×２｝＝７－７
３χ＋５ｙ－３×（－１）－５×２＝０
３｛χ－（－１）｝＋５（ｙ－２）＝０
５（ｙ－２）＝－３（χ＋１）
５（ｙ－２）＝３（－χ－１） ・・・③
③の右辺は３の倍数です。ということは，左辺の（ｙ－２）が３の倍数でなければなりませんから，
ｙ－２＝３ｋ （ここで，ｋは整数） ・・・④
と表すことができます。④からｙを求めると，
∴ ｙ＝３ｋ＋２ ・・・⑤
次に，④を③に代入して，
５×３ｋ＝３（－χ－１）
５ｋ＝－χ－１
∴ χ＝－５ｋ－１ ・・・⑥
⑤，⑥より，二元一次方程式３χ＋５ｙ＝７の整数解は，ｋを整数として次のように表せたことになります。
χ＝-5k-1，ｙ＝3k+2 （ただし，ｋは整数）
ｋのところにいろいろな整数をあてはめていくと，好きなだけ整数解を得ることができるわけです。ここで，勝手に使った文字ｋを「パラメータ（媒介変数，助変数）」，こういう解の表し方を「パラメーター表示」と教わりました。
ｋ＝－１を代入すると，χ＝４，ｙ＝－１が得られます。
実際，
３×４＋５×（－１）＝１２＋（－５）＝７になります。
無理に３分計と５分計の砂時計の話に結びつけると，こうなります。
３分計と５分計を「よーい，ドン」で同時にひっくり返します。３分計の砂が落ちきったらすぐにひっくり返します。３分計は４回これを繰り返します。５分計の砂が落ちきったところから，時間を計り始めます。５分計はもうひっくり返す必要はありません。５分計が落ちきったところから３分計の４回目が落ちきったところまでが「７分」ということになるわけです。