例えば、連続３整数の和を求めてみます。
３＋４＋５＝１２
１０＋１１＋１２＝３３
２１＋２２＋２３＝６６
３４＋３５＋３６＝１０５
・・・・・・・・・・・・
和はすべて３の倍数になっています。このことから次の予想が立てられます。
「連続する３つの整数の和は３の倍数である。」
このことを確かめるためには、無数にある連続３整数の組をすべて調べつくすわけには行きませんから、文字式を利用することになります。
ところで、中学数学では「連続する３つの整数」を一般的に文字式で表すとき，次の２つの表し方がよく使われます。
①最も小さい数をχとして， χ，χ＋１，χ＋２ と表す方法
②真ん中の数をχとして， χ－１，χ，χ＋１ と表す方法
先日アップしたディオファントスの話の中にも文字設定の工夫次第で計算が楽になったり，考えやすくなったりすることがあることについて述べましたが，今回もそのことと関連した話になります。
次のような問題を考えてみます。昨日３年生に宿題として出しておいたプリントの中にあった問題です。
「連続する３つの整数があり，それぞれの２乗の和が１４９であるという。それらの整数を求めなさい。」
①の置き方で解いてみます。※読みにくいのですが，いつものように「２乗」を「＾２」と表すことにします。
χ＾２＋（χ＋１）＾２＋（χ＋２）＾２＝１４９
χ＾２＋χ＾２＋２χ＋１＋χ＾２＋４χ＋４＝１４９
３χ＾２＋６χ＋５－１４９＝０
３χ＾２＋６χ－１４４＝０
χ＾２＋２χ－４８＝０
（χ＋８）（χ－６）＝０
χ＝－８，χ＝６
【解の吟味】（たしかめ）
χ＝－８の場合は，一番小さい数が－８になるので，連続する３つの整数は－８，－７，－６になります。それぞれの２乗の和は，
（－８）＾２＋（－７）＾２＋（－６）＾２
＝６４＋４９＋３６
＝１４９
ちゃんと１４９になります。
また，χ＝６の場合は，一番小さい数が６になるので，連続する３つの整数は６，７，８となり，それぞれの２乗の和は，
６＾２＋７＾２＋８＾２
＝３６＋４９＋６４
＝１４９
これもちゃんと１４９になります。
これらのことから，求める連続３整数は－８，－７，－６と６，７，８の２組ということになります。
次に，②の置き方で解いてみます。
（χ－１）＾２＋χ＾２＋（χ＋１）＾２＝１４９
χ＾２－２χ＋１＋χ＾２＋χ＾２＋２χ＋１＝１４９ ・・・・（Ａ）
３χ＾２＋２＝１４９
３χ＾２＝１４９－２
３χ＾２＝１４７
両辺を３で割って
χ＾２＝４９
χ＝±７
χ＝７の場合は，真ん中の数が７なので，他の２つは６，８になります。
χ＝－７の場合は，真ん中の数が－７なので，他の２つは，－８，－６になります。
たしかめは先ほどと同じになるので省きます。
②の方法だと，（Ａ）のところで－２χと＋２χで，相殺して０になるので，概してその後の計算が楽になることが多いようです。
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