確率と平均と収束と

スロットにおいて確率が収束するという表現は良く使うと思う。しかし、確率が収束するということはどういうことなんだろうか。

サイコロの１の目が出る確率は1/6。もしこれを言葉で表現するなら、

「６回に１回は出る確率だろ」

自分でも良く使う言葉だが、この言葉のまんま使うと大変な間違いになる。日本語の表現だから仕方ないのだが、くじ引きじゃ無い以上６回のなかに必ず１回当たりがあるわけじゃない。

確率はどんなときでも1回1回が独立していることは前にも言ったとおりだが、

じゃあ確率が収束するというのはどういうことなんだろうか。

ためしにシミュレーションしたデータを載せてみる。

サイコロの１の目が出る回数を記録する。６０回を１セットとして１００セット行う。

６０回振ったごとに１の目が出た回数を記録していき、例えば、６０回振って１が１０回でたら、１０回の項目に記しをつけて、また６０回振る。次に１が１５回でたら、１５回の項目に記しをつけて・・を繰り返す。

すると、こういうデータになった。

６０回サイコロを振る以上、理論的には１の出目が０回のときもあれば、６０回出る可能性もないわけじゃないが、

今回のシミュレーションでは３～１８回の間に収まった。６０回振るわけだから、１の目が出る確率は、理論上１０回が一番多くなるはずである。しかし、今回のデータでは左側のフラフで１２回のところが一番多い。次に、１１、１２回が同率。これを縦線グラフにすると、

こんな感じ。いつも見せている、山型っぽい感じのグラフに見えると思う。これをいつもの棒線グラフにすると、

ちょっといびつだけど、まあ、山っぽい感じのグラフにはなっている。でも、肝心のサイコロの１の目がでる確率である1/6、このグラフでいうと１０回のところが一番多いわけじゃない。１２回のところが一番多いし、７回のところも多い。結構ばらついてる。

６０回を１００セットするのだから、結局サイコロは６０００回ふったことになるのだが、すべてトータルして１の目が出た回数は、１００８回。確率でいえば1/5.95。見た目はバラバラなのに、結果としてはまさに理論値に近くなった。

じゃあ、これが確率の収束というのだろうか。たしかに収束している。でも、データをみると、1/6で起こったものは少ない。それよりも多かったり、少なかったりしたものが混ざった結果である。

つまり、確率というものは、バラツキの平均をとったものに過ぎない。そして収束するということは、その平均値に近づいたということ。

なぜ今回わざわざ、６０回を１００セットなんて回りくどいことをしたのか。もし、６０００回振りました。１の目が１００８回でました。1/5.95でした。と書くと、まるで確率通りに出ました。という以外に表現のしようがない。

でも、あえて分けて考えることによって、多く出る時もあれば、少ない時もある。今回はいびつな形だったけど、山型のグラフになり、一見バラバラに見える結果でも平均したら、ほぼ理論値になる。これが収束するということ。

収束するといっても、きっちり1/6になるわけじゃないというのは前にもいったか。もし６００万回振って、1/6になろうとするためには、１００万回ぴったり１の目がでないといけない。１００万回と１回じゃ、1/5.9999999・・となる。

6回中１回でると考えた1/6と、バラツキの平均の結果1/6に近づくという考え方、どっちみち1/6なのだから、大した差というわけでもない。しかし、バラツキの概念が頭になければ、小役を引きすぎた、引かなすぎたといったとき、出た数字をそのまんま設定判別にかけて判断してしまう。方法としては間違いというわけでもないが、バラツキが頭にあれば、良いほうに隔たったかも、悪いほうに隔たったかも、考える選択肢の幅があるほうが、他の要素との兼ね合いでより良い判断ができるきがする。

ん～、なんというか難しい。一瞬すろ天の話題の一つにしようかとも思ったが、頭ではわかっていても、表現がこうもまとまらないと、出せたものじゃない。表現が間違っているところもあるだろうし。

しかし、ひとつ不思議だとは思うところがある。

サイコロの各出目が1/6だと、１００％言えるのに、実際振ると、ほぼ１００％で1/6きっちりにはならない。限りなく1/6に近づくだけ。このズレはなんだろうか。

ちなみに、６０００回サイコロを振って、といっても実際振ったわけじゃありません。エクセルに1/6の確率で６０回分行ったという乱数計算をさせて、数字を拾っていってまとめただけ。まあ１００セット分のデータ編集は手動だけど・・・。

すろ天

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