解答作成日：2015年3月7日
テーマ：4次方程式の解の公式
履修学年：なし
中学1年で履修する「一次方程式」は、移項して同類項をまとめ、乗除により係数を排除することで、解を求めることができます。
中学2年で履修する「連立方程式」は、必要に応じて乗除により2種類の文字のうち、いずれかの係数を一致させ「2つの等式は各々の左辺同士・右辺同士を加減しても、『等しい』状態は変わらない。」という性質を利用することで、2種類の文字のいずれかを排除でき、そのことで「一次方程式」の形に誘導できます。
中学3年で履修する「二次方程式」及び高校2年で履修する「三次方程式」は、移項して(左辺)＝0の形にして、左辺を因数分解できる場合は、そのいずれかの因数を0にする文字の値を解とでき、因数分解できない場合も、「解の公式」や(二次方程式の場合は)「平方完成」をすることで、無理数もしくは虚数の範囲で解を求められます。
これらの具体例につきましては、別の記事で改めてご紹介させていただきますが、本題は「四次方程式」で、しかも定数となる文字が3種類も存在するという、非常に複雑なものです。
適当な値を代入した結果たまたま0になったら、その値を1つの解として、「因数定理」で次数を一つ下げることもできますが、その「適当な値」も見つかりそうにありませんね。
ところが、この「四次方程式」にも、解を探り出しやすくするための「公式」が存在するのです。
本題は幸いにも、三次項が存在せず、かつ、恒等式を満たすp,q,rが特定できましたが、
三次項が存在する場合、また別の「準備」が必要になってきます。
三次項の係数をkとする場合、x＝y－(k/4)を方程式の左辺に代入することで、
yの四次方程式が新たにできますが、この三次項は、必然的に消滅します。
（閲覧者様からリクエストがありましたら、別の記事で解説します。）
これで、本題で用いた「四次方程式の解の公式」が使えるか否か、検証しやすくなりますね。