解答作成日：2015年2月13日
テーマ：
①自然数を構成する素因数と約数の個数の関係
②常用対数を利用した桁数の判定
履修学年：①高校1年・②高校2年
素因数分解をすることで各素因数の指数から約数の個数を導出できる問題は、大学受験などでは非常に有名です。
本題ではその逆をたどるというやや珍しいパターンで、しかも、常用対数を使って桁数を見積もるというオマケも付いています。
多くの方が、「2の2013乗」と誤って答えてしまうかもしれまんが、2014が合成数であることが分かれば、素因数の種類を増やして指数を分散させることで、さらに小さい自然数が求められます。
具体的には、2014を素因数分解することで、2・19・53となり、3種類の素数にかかる指数は1・18・52とできて、2の2013乗より小さい自然数ができます。
本題は「できる限り小さく」と指定されていますので、かかる指数が大きいものにできる限り小さい素数を組み立てていけば正解にたどり着きます。
1007を素数と早合点しないようにお気を付けくださいね。
後半の常用対数を使って桁数を見積もる問題は、教科書やチャート問題集にも載っている有名なものです。
具体的な解説は「桁数の判定(常用対数の利用)」にアップロードしておりますが、対数の考え方を活用できる為の予備知識として、指数・対数の定義と性質についてもアップロードしておりますので、併せてご覧ください。
「有理数で表せる対数の値」
「対数の性質とその証明」
「指数・対数の大小判定(基本的性質の利用)」