一般的な偏微分の定義説明は、そんなに良い思えず。数学最大の落し穴。偏微分-変数独立性 注意。

偏微分は、多変数における微分。単なる微分と違い、大変厳しい制約ル-ルあり。厳しさ認識させぬ風な…

「変数を固定して（定数とみなす）微分する」それが偏微分と学んだ記憶。まぁ、正しいのでしょうが、「変数固定して微分」

それは、偏微分計算法の一つ（もう一つはテイラー展開（1次精度で：2点の物理量差/2点間距離）計２つ）　偏微分定義説明に、相応しくない感。

下図 ⅱもまぁまぁ、「微分とは何か？」　判り良く示すなら、下記 ⅲ の説明が〇思います。現実は、一番駄目そうな ⅰが一般的。

ⅰを少し修正。『多変数のうち１変数だけ変化させ微分する＝偏微分』 が〇かも。ⅰⅱⅲ　多彩な表現で理解促進。逆に混乱。それはない筈。

偏微分は、変数独立性が厄介。数学における最大問題思います。が、「変数固定して微分でOK」「微分が出来れば〇」「気楽に考え大丈夫」

そんな風になっている感。（単に式を偏微分する場合と違い）点群デ-タ元に解析的に解く場合、特に厄介で注意（直交格子はOKですが）

色々細かく神経質な数学が、偏微分定義に関わる、基本の超基本が、雑なような…　意外に、先生-教える側が、判ってない可能性。

「正しく理解する上で、偏微分は難し過ぎる」て事はない筈。書籍は、やたら難解。　注意事項等、判り良く説明してくれれば、落とし穴にならず。出来てない感。

変数独立性の何が厄介か? 　例えば、（二次元）三角形で、底辺向をＸとし、（底辺に対する垂直向）Yで偏微分する場合、離散計算の手法は…

角度60度　⇒　斜め60度向の物理量の勾配と、底辺向（水平方向）勾配を、２：（－）１ の割合で、足合わせＹ方向勾配計算　

角度45度　⇒　斜め45度向の物理量の勾配と、底辺向（水平方向）勾配を、１．４：（－）１ の割合で、足合わせＹ方向勾配計算　

角度90度 ⇒ 　垂直向の物理量勾配が、Ｙ方向勾配（∂F/∂Y）となる（勾配と勾配の足合せ不要）（直角のみ問題なし）　　

角度90度以外は、勾配と勾配を足し合成的に ２つの勾配の合成＝三角の勾配（1次精度) ⇒ 垂直向勾配計算 数学テクニックで計算出来てる風だが、変数独立性満たさず×

垂直向）Ｙ向勾配は計算可だが、Ｙ向勾配は、Ｘ向勾配を含む（利用する）事になる　変数独立性喪失　テクニック使うと偏微分にならぬ問題

∂F/∂Yの計算に、∂F/∂X 利用。独立であるべきX-Yが、直角でない場合、X-Y連動。一次精度の場合、2点で計算のみ変数独立（二次は3点）

「変数固定して微分」だと偏微分独特の、厄介-難儀さに気付にくい懸念。一旦難儀さ認識すると、頭から離れず。気付かぬと延々気付かず。

上図 ⅲ　微分イメージの偏微分式見れば、偏微分の厄介さに気付き易い筈。　なので、数学書に記載して欲しいが、掲載書籍見ぬ不思議。

上図 ⅲ　微分イメージ偏微分式は、伝熱-流体学扱った差分法の書籍でしか見た事ないかも（式ⅲは、ネットに割とUPされてる風、昨今は書籍掲載かも）

元来、テイラ-展開の多変数-偏微分への応用性で紹介すべきが、出来てない ⇒ 多変数も〇思うが ⇒ 多変数は、変数独立性の壁で、直交格子以外×（実質多変数応用不可）

FEMの場合、四角は、２辺（２つ）の勾配（2点の物理量差/距離）足して合成して（三角域の勾配に同じ）⇒ 偏微分たる 直角向勾配計算 　それを４頂点実施 ↓ 偏微分に近いものは計算可（直角なら◎）

多変数のうち、一変数だけ変化させた時の物理量勾配（微分）が偏微分 ⇒ 超計算難　その弱点-注意点が軽視風。偏微分いう用語も変

元は、partial differences  partial derivatives ですんで。　又、テンソル（直交物理量の差の差-2階偏微分）解く所まで想定必須な筈の理工数学。

設計や物理量場解くための数学⇒出来ていない。又、計算誤差理論は、（メッシュ歪）偏微分-各種収束計算-積分ク-ラン数制約  等々関わる誤差未想定

又、離散計算手法は、数学書に出ず注意（直角だと正しい数学に）　FEM等既に実用済故、本来、理工の数学分野で重視して扱うべき筈。

実用上必須な、限界突破-スレスレは、数学で扱わず⇒勉強して判らず。離散計算書は数式だらけ難解。偏微分に留意すればトリック見破れますが…

何故か、変数固定して微分 としか学ばぬ不思議。　数学の限界 偏微分解く際の致命的弱点  基本-基礎逸脱しないと計算不可 そこに気付かせたくない？

『学校で学べない』ネタ話の定番。　普及済-実用理論が、「学べず」「教えられず」では困る。

（正しい数学でないため）数学書未記載。離散計算書では記載あり。偏微分∂Xの計算に、Y座標情報が、∂Yの計算に、X座標情報が、それぞれ必要だったり

変数独率性が怪しいが（×と書いてなく）判らぬ人は判らず。直交なら、XはX、YはYのみのデ-タ情報元に微分同様に計算可。

数学書は、テイラー展開が多変数で成立する風で注意。直交点群なら成立。それは未記載。実質１変数限定。紛らわしく注意。短所に触れぬ流儀注意。応用到達せぬ基礎注意。

全般、理工の数学（図少なく数式氾濫難解）と、計算誤差扱う情報処理分野が、駄目過ぎ。実用応用に道開かれ、又、理論の過信-過大評価は防止。そうならぬか？

点群元にした近似理論、テイラ-展開が、（直交格子以外の）多変数に応用できず。それが、（大学における数学の）弱点・落とし穴・欠陥　に見えます。

X-Y-Z 3変数まで求められる力学全域で致命的な偏微分-変数独立性。致命的と教科書に書いてない。重要だが重視されず不可解。

「理想追っていては応用難。変数独立性守ることは、諦めましょう」　いう事？　（流体-低レイノルズ数流れ等）解ける問題は、みかけ十分解けて、それもあり？　

概して、実用問題は計算難。64bitHPC時代のモデリングは神経質で難。数学-物理-理論達者は、偏微分-変数独立性 注意

広く普及している高度な数学応用技術が、（数学）書籍未記載。それで良いのか？

数学書は、数式で溢れ、やたら難解ですが、応用性高く見える（難解さ克服後に夢広がる？）記述内容。偏微分に関しては、要注意思います

何が（要）注意かいうと、「バッチリ偏微分計算できる」「応用到達できる」そう思ってしまう点に注意。直交格子いう限定制約付ならそうなりますが…

ⅰ、書籍は判り良く記載してない。勉強しても、変数独立性なき状況で偏微分せねばならぬ。そんな事項が判りずらい

ⅱ、EWS（エンジニアリングワークステーション）時代、90年代あたり、適合格子が流行。良好に解ける、適切なモデル化も勉強で判るものでない

ダブル判らない状態。アプリ使いこなしても、構築出来ないモデルも多々あり。判らない-出来ない　大変困るいう。

勉強してないから判らないのか？　勉強しても判らないのか?　判る勉強すれば判る筈。じゃない構成なので、後者いう事に…

バッチリ偏微分計算できず = 数学達者がエ-ス技術者になる訳でない　数学屋は死活問題。（現に数学専攻はそんなに人気でない筈）

実際の工学分野は、高度な数学駆使する訳でなく、数学苦手が意外に活躍。文系出身も戦力いう分野も多かったりします。

3Dデザインのグラデーション画も（Gradient）偏微分ですが、偏微分理解者が綺麗な絵を描く訳でなし。文系が得意だったりします

・数学の限界範囲内では、実用まで到達しない（自在な形状空間は計算不可。矩形（四角）なら計算可）

・変数独立性守られず。しかしながら偏微分せねばならない。（直交格子以外は、そんな状況発生）

・差分法は、直交 ⇔ 斜交 写像変換イメージ　FEMは、三角域の物理量勾配で、直交勾配計算イメージ　いずれも複数の勾配足して直交向勾配合成（偏微分の定義上、足して合成してはいけない）

・それで求めた勾配（偏微分）は、数学上正しい偏微分でない。（FEMの場合、三角域の物理量勾配として正しくても、正確な偏微分でない）（天才技ですが…直角なら偏微分に合致）

・数学的に正しくないものを扱う訳に行かず。数学の限界超えたFEM等の離散計算法は、数学書に記載されず。（最初に戻る、堂々巡り…）

いう訳で、広く普及してる離散計算ですが、その手法は、数学書未記載。情報学でも、（独立性喪失による誤差等）想定外に見えます。

変数独立性無視した数学の想定外たる変な偏微分。なので教えない？　それによる誤差も扱わない？　解析アプリは普及済。だが、変則故、対応できず？

勉強して、そして、数学が理解できるようになれば…　そんな話を良く聞きます。ですが、世間に広く普及している離散計算手法は、実は

数学の範囲外（数学における空白地帯か？）正しい数学の範囲内に収まってない。そんな基本事項が、勉強して判る構成になってない。

気付く人は、（変数独立性いう）数学の限界に、教養課程あたりで気付く。限界超えないと実用応用に到達せず⇒ヤバくないか？

気付かぬ人は、（偏微分の変数独立性が試験に出る訳でなく）気付かぬまま長年経てしまう。（理論を完璧思ってしまう）落とし穴が…

「偏微分条件たる変数独立性に気付かせたくない」「数学の限界を知られたくない」　そんな構成に見えてしまう。勘ぐり過ぎか？　

それで良いのか？　何のための勉強か？　　『（勉強）やっても駄目そう』　てな感じの脱力風な怠け屋が、意外に賢く、本質読んでいる感

「苦しそうだな～。駄目そうだナー」てな風に、教える側-教育側の立場を、（やや上から目線か？）冷静にみている奴が、賢いか？

昨今、流体解析は、直交格子系も根強い印象。　構造解析は、上図一番右（黄色）非構造格子が、専ら好まれる感。それで、偏微分そしてテンソルが良好に解けるか？　苦しいような…

直交格子以外は変数独立性守られず、基本基礎踏外した手法に…それは仕方ない思いますが、何故か、踏外し度合が激しい手法が好まれる不思議。大丈夫なのか？

踏外し度がマシな、適合格子が流行った時代もありました。30年位前に遡るいう…。その後の計算機性能向上で、非構造でもOKに…？？

データ直交性なしで、数学的に正しく偏微分できる理論は、見当たらぬよう見えます　（近いものは離散計算理論で計算可）

果たして、離散計算技術は、進歩しているのか？

「メッシュ増やせば大丈夫」そんな意見が多いですが… 数学の限界に注意

昔は、四角系統のメッシュが主流。計算機が性能向上して、三角系統が主流に…

・計算機が非力だった時代は、計算モデルが小さく、モデルが構築し易かった。

・バブル期までは、色々余裕があり、パタパタメッシュ作成も許容＆普通　⇒　効率化で自動メッシュ推進＆三角に…

F(X,Y)の、Xでの偏微分∂F/∂Xは、Xのみで計算（Yは定数とし利用しない）

F(X,Y)の、Yでの偏微分∂F/∂Yは、Yのみで計算（Xは定数とし利用しない）下図例は、∂F/∂Y の計算に、∂F/∂X を利用 ＝ 変数独立でなく×

下図：各点が物理量Fを持つとして、アイソパラメトリック要素での偏微分 ∂F/∂Y 計算概要例

●●中間地点×の値（∂F/∂Xで計算）を使い偏微分 ∂F/∂Y 計算ですが、実際、本当に、∂F/∂Y なのか？

●●中間点 × 物理量求める計算は、（その処理のみ見れば）数学上正しい　×での値を使い ∂F/∂Y 計算すると、偏微分としては、変数独立性守れず

偏微分に近いものは計算出来て、実用上十分な事が多い。特に、次数増やすと、⌒ な物理量分布が捉えられたり、解（∂F/∂Y）はマシになる。

しかし、そもそも、∂F/∂Y の計算に、∂F/∂X を利用（Yでの偏微分計算にXを利用）⇒ 偏微分の変数独立性に反し、XがYに影響及ぼし、正しい数学でない

個々の数学処理自体は、（テイラー展開であったりする訳で）そこだけ見ると、数学的に正しく見えて注意。

「座標での偏微分は、横-縦の座標軸（直交）に縛られる」数学最大の、弱点・限界・落し穴 思います。

上例のような、座標での（2変数例）偏微分解く離散計算手法は、数学上完全なら、数学書掲載でしょうが、（数学上不完全故）未記載

数学書記述は、一変数微分テイラー展開まで。偏微分変数独立性が壁で、（直交性なき場合の）多変数対応が難

その短所-弱点は、重大な割に軽視され、重大だが教えられず（知る範囲）　なので判ってない人が多そう。大丈夫なのか！？

１：メッシュ増やす　２：次数増やす（メッシュあたりの節点数を増やす）　　どっちを行っても、

元のメッシュ（節点群）が、直交（横軸-縦軸）線上でない場合、偏微分対象外の変数が、（完全に）定数化する事はない筈

偏微分対象外の変数は定数化＆偏微分対象の変数データのみで勾配（微分）計算　それが偏微分　　　であるべきが、

X向勾配使ってY向勾配計算、アレッ？　駄目じゃないの！　てな手法が、離散計算。　（斜向き勾配の足合せ合成で、直交勾配を計算）

直交線上（横軸-縦軸線上）に存在せぬ（点の）物理量元に、（写像変換等）何らかルール適応させ、直交線上（横軸-縦軸線上）の物理量を計算 ⇒ 得た直交線上の値を使って偏微分 ⇒ それは正しい数学か？ それが理工系の応用数学？

（アイソパラメトリック要素だと、節点間-物理量均等増分仮定前提必須）そうせぬと応用到達せぬ苦しさ。数学（理論）が抱える痛い弱点・本質問題・致命的欠陥でしょうか？　

また、座標による偏微分計算法は、殆ど教えられず・知らされず。 なので、「細かくすればOK」 都合良く、安易に、考えてしまう人が多数か？

基本基礎たる偏微分変数独立性守る範囲内では直交格子限定。実用には基本（変数独立性）逸脱が必須＝それは偏微分でない

苦しい理工数学の現実。それで良いのか仕方なしか？「大変苦しい」　書いてくれると判り良いですが…

『数学の限界に注意する必要あり』微分は、（中学-高校-大学）念入に教えられる。同じく重要な筈の偏微分は、『変数固定して微分』と軽く学ぶ程度　その深い意味は学べず

解法も教えらない。厳しい制約条件付きでない解けず、教えられないのか？　「テーラー展開でOK」その認識が多いが、直交格子限定でしかない筈

私周囲、数学の苦しさを薄々察知-見破り見切った結果か？「やっても無駄無駄」てな調子（如何にも怠惰な関西人風）で、勉強せん怠け者が、意外に後々成功している現実

まぁ、学生当時は、（先は）秀才が活躍。怠け者は駄目。思ってましたが、現実は…　理論の痛い欠陥が効いて、お利口さんは、活躍できず？

偏微分の変数独立性は、大学数学における弱点思います。弱点は、判り良く、書籍に記載して欲しい感。ですが、短所ｰ弱点に対して軽視ｰ無頓着

無責任なような、それで良いのか？　理論の限界に触れない。ネガティブな事項に触れない。

そんな学術教育分野の体質注意。是正が必要思いますが、それは猫にワンと鳴かせる位に難しいか？