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2016-12-20 21:46:26

写像変換で偏微分を計算いう かなりの天才技思いますが

テーマ:ブログ

偏微分は、

(F(X+ΔX)-F(X))/ΔX ΔX→0 Yは変化しない  それがXにおける偏微分。

Yは変化しないいう、偏微分の制約条件を満たす点群デ-タ元にしか解く事ができない

痛い問題があります。差を距離で割る、微分イメ-ジの勾配計算では、計算できず致命的。

制約条件は、計算対象全域で満たす必要あり。 その基本事項を満たすのが超難題いう。

CAEが、ニッチ市場限定。なかなか一般化しない理由思います。理学-工学融合の壁みたいな

偏微分が怪しいとなれば、大学で学ぶ数学自体の有用性に関わる問題思いますが。

大学レベルの数学は、設計では、そんなには信用されていなく。数学達者人を、メ-カ-は、

そんなに求めていない現実。大学水準の数学は、難解で混乱の元で使えんからか?

解くとは何か? 偏微分の場合 微分同様 差を距離で割る 1次2次3次4次… が解くに該当

それ以外の,、(微分に適応させる)写像変換計算は合成であり、解く計算でない。

 

複雑な形にて、場の支配式を解くには、制約条件を守らない点群データ元に偏微分を解く

手品のような技が必須になります。

別の場所に移しまた戻す。直交に整列させ計算。 精度優先ならその方法しかないか?。

直交でなくても偏微分が全域で求まる超絶技ですが、書籍に余り記載されてないような…

そもそも、メッシュ依存の原因が偏微分いう事も書いてないいう。 大丈夫なのか?

 

コンピュータ計算自体が、全て線形近似計算。完全に解く訳でないともいえますが

偏微分は、満たすべき計算条件も線形近似 解も線形近似。 普及はニッチ分野限定。 

その原因=偏微分を解く融通効く万能的な方法なしいう。 万能的手法確立ならば飛躍。

いくつかある格子ボルツマンのアプリには、FEM等はメッシュ依存で解けません 

そんな内容さらっと書いてます。 じゃなく解ける事になっている? 努力すれば解ける?

知る範囲で、うまく行かない8割程度は、粗悪メッシュが原因な印象。構造解析の場合、

粗悪メッシュでうまく行けても、お目こぼしOK程度。分布鮮明さは随分落ちます。

分布鋭敏性激しい、十分細かいメッシュが切れる訳でない、メッシュが鋭角的だと変換ヤコビアンが小さく割算の分母が小。 理由は複合的思いますが、仮に超歪んだメッシュで、

角度 10°170°ですと、視覚上は超超扁平。計算上は、精精有効数値一桁落ち程度?。

『単精度を倍精度にして良い結果が出た』 みたいな話は、現実には殆ど聞かない。

変換ヤコビアンの分母が10分の1になるなら、有効桁数一つUPで解消。 でもなさそう。

 

一方、メッシュ依存・解ばらつきは、CAEの常識&普及を阻む要因。 ハード進化に伴い、

十分な解析規模で計算出来てメッシュ依存克服! とはなっていない現実。直交除くと、

偏微分は、満たすべき制約条件を満たさぬデ-タ元にした計算。制約条件も線形合成。

鈍角・鋭角的だと、「Yが変化してはならない」 その制約条件を線形近似的に満たす

それ自体が、誤差になる?(メッシュ解像度が不十分だと)

 

活用できれば、別に超高精度でなくてもOKで、(要求が超厳しい事もありますが)

「そこそこの精度」 ならまぁOKと、緩い事も多い(何も判らんよりマシ。段々要求が…) 

現実どうか?メカ分野は、大学レベルの数学は、そんなには信用されてない面もあり。

使う数学は、初等水準・高校程度いうメカ分野。高度なのは、実用になる&ならない

微妙線みたいな見解が多い。大きな原因は偏微分思います。偏微分が、安定的に

誤差なく解ければ、大学で学ぶ高度な数学が超有用となり世界は一新。現実は…

安定的に解けると有用で、具現化すべく用途に応じたソフト開発が海外は盛ん。

日本は全般に、苦闘的な使いこなし志向。そこも注意。

 

『数学がもっと出来れば』 そんな話を聞きます。 ですが、数学できても、偏微分は

完全に正確に解けずで注意。 低Re数流れ等の分布緩慢な問題や、一階偏微分でOKな

伝熱等の問題には十分ですが、それは全体の極一部。そんな訳でメカは気合派優勢。

構造解析の場合、専門家が組むモデルは、抽象的・非現実的・離散化誤差には無頓着。

チュートリアル事例も問題多く(解くいう点で合っているが、設計視点では間違いなど)

数学できて理論を理解しても、現実的計算はできない。その露呈が多い実態に注意。

現実の設計でも、メカ分野は、概して気合派優勢。流体は、実態と理論の乖離は、

まだ起こりにくい(相変化・乱流・自由表面等、厄介は多い)。磁場が一番マシかも。

 

ス-パ-コンピュ-ティングで解決いう話も実は怪しく、離散計算しない分野に姑息に移動いうか

偏微分やテンソル等バッチリ判る人は逃げてしまう?  偏微分が、現実的モデルで、

厳格厳密に計算できると飛躍だが、厳しい? 昨今、AI・デ-タマイニング等脚光。それって

離散計算は成功的に十分開拓され次に… 又は 離散計算が冴えず別の所にスポットを…

どちらなのか? 

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2016-11-18 19:17:15

偏微分が精度良く解けると凄いのですが…制約条件満たさないデ-タ元に計算せざるを得ないパラドクス

テーマ:偏微分

数学が何故役立つかいうと、1+1=2みたいな、普遍的(不変?)な成立があるからですが

ところが、数学が役立たん!みたいな事が、起こってしまうのが、メカ分野。

∂が計算出来ないので起こる。基本の超基本ができない痛い問題があります。

(F(X+ΔX)-F(X))/ΔX ΔX→0 Yは変化しない  それがXにおける偏微分。

嫌らしい制約条件 Yは変化しない ⇒ 厄介の元  が効いて、本質的に解きにくい。 

手段1)Yが変化しない場所に点群を配置して計算する

手段2)Yが変化する場所の点群データから計算する   解く手段は限られます。

1は、割と応用利用され、完全直交や八分木格子は流体解析で有力&盛んな手段です。

2は、(高次でも)制約条件(Yは変化しない)を完全に満たして解く訳でなく、合成であって

完全に解いてなく、誤差混入の元で要注意。(っと教科書に書いてないのが問題) 

八分木は、壁付近直交でなかったり、『どろっとして細工されとうっぽいなー(播州弁)』

問題あり?。手段1は、差分法-FEM-FDM-境界要素法 直交なら結果は一緒

偏微分を解くには。解を線形合成、計算条件も線形合成いう。 かなりの超絶技必須です。

写像変換しか手段なし。写像変換処理は実は誤差を伴いやすく注意。上記は、

線分A-Cでの偏微分は、手段2)で回転写像(っぽく)計算になります。A-Cでの偏微分は、

制約条件満たさないデ-タから合成計算。悪く言えば、厳密に解いていない解釈も可。

上記A-Cは、局所系から全体系X-Yに写像偏微分で、誤差が殆ど発生しない手段2の例。

ですが… 手段2は。制約条件満たさぬデータから、満たすものを無理に捻出合成で、

誤差発生不可避なモデルを、組まざるを得ない事も多く注意。また昨今は、

偏微分を精度良く解かない手法も盛ん。処理内容よく見て、用途考えておかないと

罠にはまります。厳密には、上記 手段2) 要素系⇔全体系すら×いう、

理論根幹に関わります。事情判ってしまうと、結構テンションダウン。 

なるべくマシなモデルを作るしか手段なしで、それが難しい点に注意。

その本質に切込んで、ちゃんとやって欲しいですが。V&Vみたいな抽象論でなく。

 

計算は、 要素系 ξ-η で実施します。 (λ-ζ等記述は色々) 

それしか手段なし。 手段として写像変換が一番マシっぽいですが。 究極的には、

X-Y-Zの偏微分の制約条件満たさないデータ使って偏微分する事が、誤差原因

解決しようがない嫌な話。レンズ効果発案 (京都投下進言したいわれる物理界のタブー?)

偏微分安定の人工粘性提唱のフォンノイマンが、 後十年存命なら、偏微分の解決策が出た?

極めて厳密に計算する手段は 偏微分の制約条件を満たす、直交格子のみ?

歪んだメッシュから、合成的に偏微分を計算する事が、誤差要因ですが。

★形状表現すると偏微分の制約条件が満たせないパラドクス

★制約満たした二階偏微分-計六成分の計算必須

★HPC時代の今はその高精度計算必須   一体どうするのか?

何故問題に誰も触れんのか? 判ってても触れてはいけない? 私は心配ですが。

「ハードは高速化したが幾何偏微分の計算法は確立できなかった」 そう思えます。

そこまでは言い過ぎ?ヤコビアンを使う手段は、超絶画期的な技思いますが。

一階は出来てるが 問題は分布鋭敏性シビアな時の二階。

が、学術的にはできることになってまして、確立してるがモデルが組めない!

専門家は逆の見解。 「ちゃんとやればできる&解ける!」 そしてHPC時代開花&満開?

理屈上、歪んだメッシュの場合でも、外挿的に誤差なく偏微分できる筈。果たして…。

 

技術系計算に限りませんが、メカ分野は、幾何形状を扱うが故の、数学上の厄介が

隠れ潜んでいます。 トンテンカンテン気合派優勢。 何かと挫折が技術者の性。

秀才がなかなか活躍できずエースになれない=メカ分野  原因は偏微分かも。

 

理学系の民間有力就職先が金融機関だったりの原因も偏微分。私は思いますが。

大学レベルの数学が、実務でそんなには役立たない理由にも絡む。

偏微分が解けず、テンソル・粘性が解けない。数学・物理が、実はメ-カ-で使えん。

その議論できる専門家皆無。V&Vすれば大丈夫。そんな返答ばかりの悲しき現実。

一流的指導に盲目的に従えば大丈夫いう、変な慣例に注意。   幾何偏微分は、

パラメ-タ変数独立制約で直交条件必須。しかし直交条件満たすと形状表現困難。

特に、構造解析はそのパラドクス回避困難。(写像変換で)線形合成でのみ解ける。

=(メッシュ依存を招く)=変数の独立条件は完全に満たしていない?

変数の独立条件は満たすが、変換ヤコビアンの分母が小さくなり誤差が起こる?

『厳密に偏微分を解いているならば、メッシュ依存なし&メッシュ細かいとOK』

っとなるが、そうならず注意いう。

 

偏微分が誤差なく(メッシュ依存もなく)バッチリ解けると、計算機も、関わる技術者需要も、

激増し… 理論に強い技術者需要爆発も起こる筈。現実どうか? 海外は、AI等の分野で、

その兆候あるが、離散化計算は、ウ~ム。日本は製造立国。設計主体の需要方向強く、

職人・気合派優勢。計算機は発展したが、今の理論派は発展前より弱い。理学系も低評価。

一階偏微分は、ペチャンコメッシュで大丈夫っぽく、問題は、Δxの二乗が効く二階偏微分 

大規模は、空間刻みΔx 時間刻み幅Δt双方小さく厄介。メッシュ増やし冴えん解はよくあります

 

制約条件を(線形合成的にしか)満たせん場合の計算誤差は、分類されてない?

離散化誤差の範疇っぽいですが。そこが理学-工学 融合の壁いう肝心核心で、

そこを気合込めしっかりやって欲しいが、脱力手抜きに見えるいう。結局は、

大学レベルの数学って、使えるの? そんな話にもなる思うのですが。特に

設計は、安定的なもの以外は相手にしませんので注意。

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2016-10-31 07:38:05

幾何や空間偏微分を、どう処理しているか? そこをみておけば失敗はない思いますが

テーマ:偏微分

離散化計算で、一番難しいのは、粘性やテンソルの直交の差の差の計算。

幾何や空間の偏微分を、どう処理しているか? そこをみておけば、大失敗はない

思います。 逆に、「そこへの着目が欠落していると、危ないッ」 思っていますが… 

微分と偏微分が、混在していたり普通で、注意必須。

「実は、ごまかし的近似でして、」 書いてくれれば判り良いですが、!書いてないッ!

なので、(直交考慮しない)微分が、偏微分に近似されている等、見破らねばなりません

見破る必要なし的な、判り良い記述構成が望ましいが、慣例的にそうなってなく注意。

FEMや差分法で、写像変換を記述している書籍は少なく、

古い書籍は結構書いてて、最近は書いてない? 判らず終わってしまう?

偏微分の手法詳細記述していても、それがメッシュ依存の元凶いう事を記述した文献は、

昔から皆無な気もして少し不思議。そこが一番超大事なポイントなのに…

写像変換も一種近似関数。下記ⅠⅡは近く、一番マシな近似関数=写像変換が私の認識

嫌らしく近似処理されている箇所=見られたくない箇所かもしれません

偏微分=面積体積や(単なる勾配)微分と違い、合成的&近似的にしか解けず、

点の位置次第、メッシュ次第で、解がブレる。

体験上、構造解析は、無頓着でうまく行く問題は一部。

 

不都合に触れんのは、教育分野全般その傾向。解析に限らず、

理論派が低評価な一因思います。短所無頓着なまま、(中途半端に)理論マスター

などは注意。適当に解いても、「細かいと大丈夫」 そう考える理論派も多いです。

目的・課題次第ではOKですが。細かくても、直角になる訳でなく誤差発生ですが

なかなか判って貰えない。書籍文献に書いてあれば、簡単に判るものが、書いてなく残念。

 

幾何偏微分の厄介さが、万年治らぬメッシュ依存の原因。その短所が未記載で

・駄目な場合、努力不足が駄目な理由と、間違い易い。(そのケースもあるでしょうが)

・そもそも、メッシュ依存が、問題として存在しない事になっている(メッシュ細かいと解決)

私個人は、構造解析ですと、写像変換による偏微分が一番◎で、念押しで、精度特上な

二次アイソパラメトリック要素その活用等、解消策になり得ると考えていますが。 その

六面体二次20節点要素は、海外事例で時々みますが、日本でそこまでマニアックなのは…

一次アイソパラメトリック要素で十分で、20節点要素なんて、念が入り過ぎでもありますが。

実はそんな議論できる専門家は超少数で、 「V&V実施すれば大丈夫です」 

そんな類の返答が多く、体質なのか? 具体案を避け抽象論を好む。実用避け研究志向等

専門家はそんなもの? ならばそれも、注意点として教科書に書く必要性。

『どやって離散化の偏微分解いてるか?』  その視点で文献読みますと

やっぱアカンな~ ちゃんと解いとらんナ。 ×ε×)  文献読み(やっぱり)がっかりが多い

ちゃんと解いてないと、粘性に細工めいた事を行う程度しかできず、精度は期待できない。

その諦めを知る=通なのか? 判ってないと逆になる?。見破れず騙されに陥らぬよう注意

離散化に致命的問題ありで、スーパーコンピューティング花盛りが不思議。離散計算が

合成的近似的にしかできず、メッシュ依存伴う問題は、大規模においての方が深刻です。

直交なら行けますが…

 

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