【速報】東北大学 理系 | 2015年大学入試数学
●２０１５年大学入試数学評価を書いていきます。今回は東北大学(理系)です。
いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです＾＾
国公立が試験を開始しました。同時開始なので、すべての大学を即日UP出来ませんが、今の時期は、国公立ラッシュのエントリーになると思います＾＾；
２０１５年 大学入試数学の評価を書いていきます。
２０１５大学入試シリーズ第３２弾。
国立シリーズ、第９弾。
東北大 (理系)です。
問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また、☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
難易度の指標は、こんな感じです。
D・・・難関大学でも難しい部類の問題。
E・・・超高校級の難問。試験場では即捨てOKの問題。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。
したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい という目安にしてください。
東北大学 理系数学
（試験時間１５０分、６問）
全体総評・合格ライン
少し難化しました。第１問から第５問は、標準～応用レベルの問題が並んでしましたが、第６問に大物の論証がきました。が、即捨てOKの問題です（裏技で押し切れます）ので、ここを無視した判断ですが、確率は見落としが出やすく、論証しにくい１次変換もあり、やや難化です。
試験時間150分に対し、
目標解答時間合計は178分。（昨年は185分）
昨年より少し短いですが、昨年は最後が大物論証だったせいです。その意味で、今年は難易度のばらつきがそこまで大きくはないです。小問もありますので、点数は昨年より少し出やすいかと思います。
■合格ラインですが、
第１問は簡単。絶対に落とせません。
第２問の（１）は事実としては有名。（２）は計算に最後までたどり着いたか。どちらもキー問題。
第３問は確率。地道に調査することでしっかり得点したい。（３）は対称性利用が早い。
第４問は少し複雑（に見える）積分不等式と、それを利用した極限。定積分不等式の評価はそれほど難しくない。キー問題。
第５問（２）までは取れるでしょう。（３）はHが垂線の足になること証明なしに使って部分点か。
第６問は難しいです。（１）の途中まで、でしょう。
第１問、第３問はおさえて、さらにキー問題のどちらかを抑えて、残りは部分点稼ぎに走れば、６０％ぐらいとれそうです。
第１問・・・楕円の一部、接線、法線など（B、18分、Lv.1）
これは基本的な２次曲線の問題です。媒介変数表示での置き方と接線の表し方さえ覚えていれば、すんなり解けます。２次曲線は演習量が少なくなりがちですが、この程度であれば落とせませんね。
（Principle Piece 数学IIIC (原則のみ)）
※KATSUYAの解いた感想
２次曲線かぁ。。。あんまりいろいろ線を惹かないで欲しいなぁ、と思いつつ計算すrと、予想外に面積は超スッキリ。めちゃくちゃ簡単だわ＾＾； 計算も全然複雑じゃない。解答時間７分
☆第２問・・・３次曲線に引いた接線、解と対称式の値など（B、35分、Lv.2）
３次曲線に引く接線が３本あることを示す問題です。y＝ーxは、３次曲線の変曲点を通る接線になります＾＾ 接線の本数は、この変曲点を通る接線をまたぐことで、変わります。
（拙著Principle Piece 数学II 微分 をお持ちの方は、研究題として４次関数ひ引いた接線の問題を載せでありますので、よく知っている事実と期待しております＾＾）
（１）は、こちらの原則に帰着させましょう。
（Principle Piece 数学II 微分(２冊目) pp.8-10）
接線の式がP(ａ，ｂ)を通るとして、３次方程式を立てます。
また、３次式が解を３つもつ条件は、こちらの原則です。たくさん使えて、スラスラいけそうですね＾＾
（Principle Piece 数学II 微分(２冊目) p.2）
まず、領域Dはａ＞０とわかりますので、「f’（t）＝０」はｘ＝０，ａの２解を持ちます。ｆ（０）＝ａ＋ｂ、ｆ（ａ）＝－a^3+a+b は領域条件から正、負とばっちりわかります。ばっちりわかるように領域が設定されていますから、当然ですね＾＾
（２）は「和」と「積」という言葉から対称式は思いついたでしょうが、計算はかなりめんどくさいですね＾＾；
（Principle Piece 数学I 数と式 p.29）
問題文の条件に加え、（１）で作った３次方程式の解と係数の関係も活用していくと出ます。bは２種類でますが、片方はD内にありません。ここまできっちりやるとなると、少し差がでそうですね。
※KATSUYAの解いた感想
y＝ーxは変曲点の接線だな。事実としては有名。問題の出し方がうまいな。（２）は逆に計算がメンドウ。対称式利用に気づいても計算力の方が必要。解答時間22分。
第３問・・・確率、サイコロの目を係数にもつ方程式の解条件（B、25分、Lv.1）
サイコロの目を係数にもつ方程式について、条件を満たす確率を求める問題です。この手のタイプは、ある程度地道に調査する以外に方法はありません。
（１）は、条件からすぐに P2=4,5,6 がわかりますので、それぞれでP1,P3の組み合わせを探せばOK。
（２）は解と係数の関係で、P1=P3に気づくかどうか。本学受験者なら気づくべきですね。これに気づけば、そのP1=P3が１～６ で場合分けするだけ。2以上なら全部OKだとわかることも利用すると、ラク＾＾
（３）も地道に調査すれば出ますが、おそらく出題者はそれを意図していません。条件を変形すれば、αβ＞１とαβ＜１はP1とP3の大小だけなので、対称性から確率は等しいはずです。これと（１）、（２）の結果を利用すれば、１式で済みますね＾＾
※もちろん、地道に調査してあっていれば満点です。
※KATSUYAの解いた感想
調査系のサイコロ問題だな。（１）、（２）ともに調査して終了。（３）は割と多そうやな。なんか方法ないかな。まてよ、αβ＞１と確率等しいし、、、あ、（１）、（２）は全部ヒントになっているわけね。解答時間１０分。
☆第４問・・・定積分と不等式、極限（B、30分、Lv.2）
積分できない定積分を不等式で評価した上で、はさみうち極限を利用するタイプ問題。簡単ではありませんが。東北大としては易しいほうかと思います。
最初は、xのａ乗の部分を積分区間の上端、下端で置き換えたものと評価すればOKです。不等式の左辺と右辺にある「２」が、ｓｉｎxの「０～π」の積分で出ることに気づけば、確信が持てますね＾＾
（１）ができれば、（２）は出来ます。ただの挟み撃ちです。極限にも難しいテクニックは不要。そして、（３）は２乗になっているので、次数を下げるために角度を２xにした上で、（１）と同様に評価した後に（２）と同じことをやります。
（Principle Piece 数学III 積分 pp.14-16）
※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
この、Anの設定の仕方、、、なんじゃlこりゃ＾＾； まいいや、（１）は上記の通りに評価。（２）はその不等式を使って評価し、はさみうち。（３）は、また（１）の評価からやればいいよな。てか、２回も同じことするの？？（３）要らないっしょ。解答時間18分。
☆第５問・・・図形、座標、四面体の体積（BC、30分、Lv.3）
図形と式の問題かと思いきや、最後に折り曲げ立体の問題になります。（１）は、∠PAB以外なら直角になりえますので、それを排除するように条件を作りましょう。、∠APB＜９０度は、「ABを直径とする円の外部」とするのが早そうです＾＾
（２）は、教科書にもあるような問題。ただ垂線の交点出すだけです。簡単ですね＾＾ Pから下した垂線はx＝t と簡単なので、これは使いましょう。
※なお、この四面体は等面四面体です。従って、上の議論ができないなら、直方体に埋め込んで出すのもありです。（２）は完全に無視ですが、議論に穴がなければ引かれません。
体積自体は√ 付きの４次式ですが、偶数次しかありませんので、ただの平方完成です。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
（１）、（２）は特にコメントなし。垂心の座標出させる問題、ひさしぶりにやったわ＾＾； （３）を見て、あ、そのためにHの座標出したのね。Hを通ることは重要そうなので、丁寧めに書いて高さを出し、計算。解答時間17分。
☆第６問・・・整数、連続自然数による和の表し方（C、40分、Lv.3）
今年も最後は論証系問題が出ました。題材的には有名な問題です。（2010年千葉大などでもあります。）文字ばかりで抽象的なため、手が付けにくかったでしょう。時間的にも他の問題を見直したほうが速かったと思います。
（１）も聞き方は割と意地悪で、「必要かつ十分」と言われると、別物の証明に見えますが、実際は必要の証明をほぼ逆にたどるだけで済みます。
（２）はどうでしょう。（１）の途中で出てきた、２n＝k（２m＋k－１） を使うと割とさくっと証明できます。k、２m＋k－１はどちらかは奇数なので、１しかないのですが、どちらも１には出来ませんね。
（３）は難問。同じ式を使って議論は可能ですが、kとしてありえる数だけ、mもちゃんと存在することを最後に必ず断る必要がありますので、注意。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
よくある題材やけど、毎回このタイプの問題は割とムズイ。（１）は・・・うーんとりあえず変形してみよう。（A）のこの形はなんじゃ？ 変形した式と見比べて、これが「m」になると判明。（B）はどうしよう？（A）の式は整数じゃなくて自然数とも言えるよな。ってことはｎ／ｋーｋ／２＞０が言える。そのまま（B）になるな、よしよし＾＾ 十分は、逆にたどればいける。
（２）、（３）はどっちも途中式が使えるかな。奇遇が違うから２の累乗がアウトになるのはさくっと終了。（３）は（B）に注意し、kとしてありえるものを網羅しておく。うーん、、、奇遇でわけないと厳しいか。でも待てよ、mもあるって言わないと、、、m＝ にして存在を確認。結局どちらのときも「f」個になったので、まとめて終了。解答時間２８分。
対策
行列の部分は、整数問題に置き換わったと考えていいです。すると、頻出分野は「整数」、「確率」、「微積分」、「ベクトル」と言えます。積分では立体の体積や面積系統もよく出ます。大物論証系等は数年に1度ぐらい出るのですが、これの対策をするぐらいなら、他で取れる練習をするほうが効果的でしょう。
2010年のような大物セットの年もあります。量の演習＋じっくり演習をバランスよく行っておきましょう。（６：４ぐらいがいいです＾＾）
＞＞ 2010年の東北大 理系 数学
＞＞ 2011年の東北大 理系 数学
＞＞ 2012年の東北大 理系 数学
＞＞ 2013年の東北大 理系 数学
＞＞ 2014年の東北大 理系 数学
以上です＾＾ 次回は、東北大学(文系)です。
＞＞ 今年の他の大学も見てみる
■関連するPrinciple Piece■
★ 数学IIIC 原則のみ（第１問）
★ 数学II 微分 （第２問）
★ 数学I 数と式 （第２問）
★ 数学A 確率 （第３問）
★ 数学III 積分（第４問）
★ 数学A 整数（第６問）
※受験ランキングに参加しています。「役に立った」という方は、クリックしていただると、すごくうれしいです^^/
