私のライフワークとして、主に三角形を狭く深く研究してきたわけですが、四角形も考えてみようかと思う。
そこで、四角形というものを出来るだけ詳細に分類してみようと考えたわけです。
みなさん、どれくらい四角形の種類を列挙できますか？
シンキングターイム
四角形/四辺形 tetragon/quadrilateral
正方形 square
長方形 rectangle
菱形 rhombus
平行四辺形 parallelogram
台形 trapezoid（米語）/trapezium（英語）
凧形 kite
日本の義務教育を受ければ、これくらいは列挙出来るかと思う。
他にも、
等脚台形 isoscales trapezoid
直角台形 right trapezoid
三等辺台形 3-sides-equal trapezoid
直角凧形 right kite
凸四角形 convex quadrilateral
凹四角形 concurve quadrilateral
これくらい挙がれば上々だろう。
他にも、
円に内接する四角形 cyclic quadrilateral
円に外接する四角形 tangential quadrilateral
双心四角形 bicentric quadrilateral
ねじれ四角形 complex quadrilateral
まぁ、高校生くらいならば、これくらいまで考えられるだろうか。
三角形のバリエーションに比べて、なんと多彩なことだろうか。
これらの四角形をベン図のような形で分類したいと考える。
まだ絵は出来ていないが、それぞれの四角形の条件は十分に頭に入っている。
まず、x-y平面を考えて、
x＞0を円に内接する、x＜0を円に内接しない
y＞0を円に外接する、y＜0を円に外接しない
と四象限に分類してみる。
すると、第一象限（x＞0, y＞0）＝双心四角形となる。
おっと、その前に四角形が円に内接する条件、円に外接する条件をおさらいしておこう。
四角形の頂点を反時計回りにA、B、C、Dとして、それぞれの頂点の内角を順にα、β、γ、δ、2頂点の辺をAB=a、BC=b、CD=c、DA=aとします。
円に内接する条件：
対角の和が180度
α＋γ＝β＋δ＝180˚
円に外接する条件：
対辺の和が等しい
a＋c＝b＋d
シンプルですね。
正方形は、円に内接し、円に外接する
広義の長方形には正方形も含むので、
狭義の長方形は、円に内接し、円に外接しない。
広義の菱形には正方形も含むので、
狭義の菱形は、円に内接せず、円に外接する。
広義の平行四辺形には正方形、長方形、菱形を含むので、
狭義の平行四辺形は、円に内接せず、円に外接しない。
ここまでは、狭義であれば象限をまたがることは無いようで、頭を悩ませることはなさそうです。
台形を考えてみると、
台形であるための条件：
上底と下底が平行
a//c
広義の台形は、平行四辺形、菱形、長方形、正方形を含むので、
狭義の台形は、平行四辺形、菱形、長方形、正方形を含まない。
広義の等脚台形は、何が含まれるのだろうか？
等脚台形の性質として、かならず円に内接します。
また、上底＋下底＝左辺＋右辺であれば、円に外接するので、
円に外接する等脚台形を、双心等脚台形ないし、双心台形とでも呼びましょうか。
英語だとbiocentric trapezoidでしょうかね。
双心台形が定義されると、
広義の等脚台形には双心台形を含むので、
狭義の等脚台形には双心台形は含みませんので、
狭義の等脚台形は円に内接するが、円に外接しないとなります。
広義の三等辺台形には、何が含まれるのだろうか？
当然、等脚台形は含まれますね。
等脚であるので、円に内接はします。
では、円に外接する三等辺台形はあるのか？
というと、正方形となってしまうのです。
狭義の三等辺台形は円に内接するが、円に外接しないとなります。
直角台形とは、隣あう2角が共に直角となる台形である。
広義の直角台形は、正方形、長方形が含まれます。
狭義の直角台形は、正方形、長方形を含みませんので、円に内接しません。
円に外接するような直角台形は容易に作れますので、どんな名前をつけましょうか？
英語ならば、tangential trapezoidという感じでしょうか。
まだまだまとまっていませんが、ペンディング。
続いて凧形を考えてみると、
凧形であるための条件：
ACとBDが直交する
AC⊥BD
広義の凧形は、何が含まれるのだろうか？
広義の凧形は、正方形、菱形が含む。
凧形は必ず円に外接する、と思っている方もいるかとは思いますが、これは間違い。
凧形には、凸凧形と凹凧形がある。
凸凧形は、円に外接するが、
凹凧形は、円に外接しない。
直角凧形は、左翼、右翼が直角の凧形であるから、凸凧形に分類され、対角の和が180˚となり、円に内接する。
つまり、直角凧系は双心四角形に分類される。
広義の凸凧形は、直角凧形、菱形、正方形が含まれ、
狭義の凸凧形は、直角凧形、菱形、正方形を含まない。
凹凧形は、凸凧形ではない凧形なので、凧形の分類は出来たかな？
などと、机上で頭の中を整理している途中です。
さて、どういう図なら綺麗にまとまるのだろうか。
円に内接する/しない、円に外接する/しない。
という表現がかっこ悪いんだよな。
外接円を持つ/持たない、内接円を持つ/持たない。
こっちのほうが、まだ名前を付けれれていない図形の日本語のネーミングは楽かもしれない。
ではでは
PS：ハッシュタグが10個では足りないな。