寒い、寒い
昨日帰宅時にコートと手袋してたおじさんを見た。
自転車に乗ってたよ
あまり気にしてなかったけど
確かに、寒くなってきた
それで、今日は僕もとりあえず
去年買った、手袋をはめた
そのうちコートも着よう
今日は無限集合論の話。
この８月頃から、ゲーデルの不完全定理を理解しようと、
色々な論理の本を漁ってたんですが
なかなか、すっきりした理解まで行かない。
理由は簡単、なれていないのです。
まずはじめの問題点、
対角線論法による実数と自然数の濃度の違いの証明
の理解がすんなりと行かないのです。
結論は、実数の方が自然数より濃度が濃いのですが。
その証明法に、
カントール先生の対角線論法と背理法を使い証明します。
具体的には
０から１までの開区間の直線上のすべての実数を
全ての自然数と１対１対応させた表をつくる。
ここで上の仮定が正しければという前提で
矛盾を導き出すのです
０から１までの直線上の全ての点に
自然数の番号をつけるというイメージでしょう。
自然数の数も、実数の数も、ともに無限大個あります。
すると常識的に可能と思われます。
次に、この仮定のもとで、
新しい実数が作れるというのです。
新しい実数をつくる方法に対角線論法が使われるのです。
つまり全ての実数を表にしたはずなのに（仮定）
新しい実数が得られた（矛盾）
つまり、全ての実数が表に現われていなかったことになり、
だから、１対１の対応が出来ていなかった
対応以外の数が見つかった。
それは濃度が違うからとなるのです。
実数のほうが、濃度がこいのです。
でも、僕の勉強不足だと思うんですが。
０から１までの全ての実数を、具体的にどのように自然数と対応させるのか
ランダムに実数を引っ張ってくることで対応表が完成できるとは考えられません
すると、ある一定の規則で実数を表にしなければならないのですが
そのような規則は考えられるでしょうか。
すると僕の考えで
全ての実数を表にする規則を求めます。
それは自然数を使います。
１、 ２、 ３、 ・・・
０．１、０．２、０．３、・・・
と対応させ並べるのです。
つまり、１は0.1に、２は0.2に、5677は0.5677に、対応させます。
すると０．１から１の間の全ての実数を自然数に対応させ、並べることが出来ると思われます。
ここで前との違いは、
直線の区間が０から１でなく０．１から１の間に変わりました、
また１，１０，１００，１０００、・・等の数は重複します、
（すべて０．１となります）
でも、これらは本質的な問題ではありません。
するとこの方法では、実数の数と自然数の数の濃度は等しくなりそうです。
それと話を変えて
全ての自然数により作られた表に
新たな自然数を加えることが出来るのです。
それは、ヒルベルト作の「無限ホテル」のたとえを使います。
無限大個の室を持っている、満室状態のホテルに
新しいお客さんがきても、部屋を用意できるとのことです。
よく知られた、たとえ話ですから、詳しくは説明しませんが、
泊まっている一人のお客さんに部屋を隣に代わって貰います。
隣のお客さんは、さらに隣のお客さんと代わってもらいます。
これを無限回くりかえすのです。
すると新しいお客さんに、部屋を用意できるというはなしです。
この例え話は、自然数全てが載っている表を作成しても、新しい自然数を加えられるという事になるのではないだろうか。
よく理解できません、無限大とか無限集合とか自分自身を含む集合とか・・・
数学の歴史では、色々なパラドックスが見つかり、それらの克服が大きな問題だったという事が、理解できます。数学者たちは、このようなことを考えていたんだなと。
もっと、勉強せなあかんな。
まだまだ不完全性定理は遠い。
時間が欲しいなぁ。