数学シリーズとして、もう一つ解いてみました。
数学は面白いので、やり始めるとハマる
今回題材にしたのはこちらの問題です。
この問題は、図の台形の底辺ＢＣの長さを求める簡単な問題です。
むずかしくないと思うので、読んでいただけるとうれしいです。
動画を一度見て頂けるとわかりますが、
上記の動画では、変数を使った計算をして解いてますね。
だけど実は、
この問題は変数を全く使わなくても解けるのです。
・・・ということで、
僕は、変数を使わない方法で実際に解いてみました。
僕が解いてみた内容が次の図です。
僕が描いた台形の図形は結構適当です。
角度なんて全然測らないで適当に描いてます。
その点ご了承下さい。
図の左上から右下へ順番に読んでいけば、
解き方がわかるかと思います。
僕の解き方の１つめのポイントは、
１．点Ｄから、辺ＡＢに水平な補助線を引く
２．点Ｂから、辺ＡＤに水平な補助線を引く
という補助線の引き方をするということです。
なぜ僕がそういう補助線を描いたかというと、
図の中の上から２番目の図に示したように、
・角ＡＤＦが垂直（90度）
・辺ＡＢと辺ＤＦが平行
・辺ＡＤと辺ＢＦが平行
となるような長方形ＡＢＦＤを作りたかった、
というのが理由です。
この条件を満たす長方形ＡＢＦＤを
作ることによって、この問題は
とっても簡単に解けるようになるのです。
これがいわゆる『発想』というやつ。
似たような問題をたくさん解いていれば、
こういう発想は0.001秒ぐらいで頭に浮かんできます。
とりあえずは
『図形をよくみる』
ということがとっても大事だと思います
この問題を解く２つめのポイントは、
『一つの角が30°の角を持つような
直角三角形の辺の比は、
２：１：ルート３
となる』
（ルート３は、ブログでは表示できないので
これで許して）
という法則を使うということです。
この法則は、中学校２、３年ぐらい、
三角比とか図形の合同とか、そのあたりで習う内容だと思います。
この２番目のポイントは、
最初に示した上記の動画の中でも
時間にして 0:56 あたりで使ってますよね。
この２番目のポイントを使うことについては、
動画の方法も僕の方法も同じなわけです。
つまり、動画の解き方と僕の解き方が違う点は、
『どこに、どういう補助線を引くか』
の違いだけなんですね。
「このたった一つの違いで答えの出し方が
どう変わるか」
ということを、みなさんにわかっていただきたいのです。
解説の前に、動画の中の解き方の問題点について説明します
動画内では
(1)辺ＡＢを右上の方に延長する形で補助線を引き
(2)辺ＤＣを左上の方に延長する形で補助線を引く
(3)(1)と(2)の交点を点Ｅとする
という補助線の引き方をしています。
「補助線を２本引いている」という点は
僕と同じですけど、
問題の四角形の上の方に向かって補助線を引く点が
僕とはやり方が異なります。
ただ、動画のような補助線の引き方をすると、
一つ残念なことが起こります。
それはなにかというと、
動画のような補助線の引き方をすると、
動画の図の場合
『辺ＡＥと辺ＤＥの長さが直感的にわかりにくい』
という困ったことが起こるということ。
（そもそも辺ＡＤの長さもわかりませんしね。）
だからこそ動画内では、図形だけで発想して問題を解く
というよりも、変数を使って解いてるって感じなのです。
こういうときは変数を使うとわりと楽に解けるようになります。
ところが一方、僕が解いた方法だと、
変数は１回も使ってません。
僕の方法では、
変数は使う必要がないのです。
僕のような補助線の引き方をすると
辺ＢＥの長さも辺ＥＣの長さも
図形をみれば
すぐにわかルンです。
そういえば、昔
「写ルンです」というインスタントカメラがあったねぇ。
あとあと、「感染るんです。」というマンガもあったね。
では次に、僕の解き方を詳しく説明しましょう。
■僕流の問題の解き方の説明
●僕の問題の解き方のポイント
問題の図に補助線を引くとき、
１．三角形ＤＥＣが正三角形になること
２．三角形ＢＦＥが特殊な（30°の角を持つ）直角三角形になること
この２つを見込んでわざわざ辺ＡＢに水平な
（つまり辺ADに垂直な）補助線を引いたことです。
これが最大のポイント。
●手順１：補助線を使って正三角形ＤＥＣを描く
(1)補助線ＤＦは、点Ｄから辺ＡＢに水平になるように
下方向に引きます。
★↑↑↑ しつこいけど、この補助線の引き方がポイント★
(2)補助線ＤＦと辺ＡＢが平行ということは、
角ＡＢＣと角ＤＥＣの角度はまったく同じ角度になります。
これは平行線の性質の一つである「同位角」の性質によるものです。
その説明を引用させていただきますので、気になる方は以下のＵＲＬの内容をお読み下さい。
・平行線の性質
https://dac.gijodai.ac.jp/it-con/h16_sakuhin/ippan/ippan3/math/2grade/zukei/heikou.htm
問題文から角ＡＢＣは60°だとわかっているので、
このため、角ＤＥＣは60°だということがすぐにわかります。
(3)ここで三角形ＤＥＣに注目します。
「三角形の内角の合計は必ず180°になる」と決まっていますので、
このため角ＥＤＣも60°だとわかります。
（計算：
角ＥＤＣ＝180－角DCE－角DCE
＝180－60－60
=60 ）
(4)このことから、三角形ＤＥＣは正三角形だとわかります。
（本当は(3)の計算は必要ないけど、
正三角形だとわかりやすくするために
(3)の計算を書いています。）
(5)さて
・問題文から辺ＤＣの長さが４
だとわかっているし、
三角形ＤＥＣは正三角形だとわかったのですから、
・補助線からなる辺ＤＥの長さも４（辺ＤＥ＝４）
・辺ＥＣの長さも４（辺ＥＣ＝４）
だとわかります。
●手順２：三角形ＢＦＥの辺と角を調べる
(6)次は三角形ＢＦＥについて考えます。
図をみれば、三角形ＢＦＥは
・角ＥＦＢは直角（90°）
・角ＥＢＦは30°
：角ＢＥＦは60°
という角度を持つ直角三角形だということが
すぐにわかります。
このような角度を持つ直角三角形の辺の比は
辺ＢＥ：辺ＥＦ：辺ＢＦ＝２：１：ルート３
だということがすでにわかっています。
気になる方は以下のURLの「⑥辺の比が1：2：√3」という項目を読んで下さい。
・三平方の定理の公式
https://terakoya.ameba.jp/a000001479/
(7)ところがここで、
・四角形ＡＢＦＥは長方形のため、
辺ＥＦの長さ＝ 辺ＡＢの長さ－辺ＤＥの長さ
だということが図からわかります。
さらにここで、
問題文から、辺ＡＢの長さ＝５だとわかっていて、
上記(5)からは、辺ＤＥの長さ＝４だと判明しています。
したがって、
辺ＥＦの長さ＝ 辺ＡＢの長さ－辺ＤＥの長さ
＝５－４
＝１
だと求まります。
(8)ということは、辺ＥＦの長さが１なのなら
先ほど(6)で示した三角比
辺ＢＥ：辺ＥＦ：辺ＢＦ＝２：１：ルート３
をみれば、「辺ＢＥの長さは２」だとわかるのです。
(8)一方、問題文が解として聞いているのは
「辺ＢＣの長さ」です。
これは、
辺ＢＣの長さ＝ 辺ＢＥの長さ＋辺ＥＣの長さ
で求まります。
ここで、(5)と(8)の結果を思い出せば、
・(5)より→ 辺ＥＣの長さ＝４
・(7)より→ 辺ＢＥの長さ＝２
でしたので、これらを上の式に代入すれば、
辺ＢＣの長さ＝辺ＢＥの長さ＋辺ＥＣの長さ
＝２＋４
＝６
となり、答えは「６」となるのです。
僕の計算では変数は使ってないですよね。
すべて図形の性質から答えを導き出しています。
それどころか、実を言いますと、
僕はこの問題を暗算のように頭の中で解きました。
そう。
この問題は簡単なので、図形を描く必要も
計算を書く必要もない。
実はとってもやさしい問題なのです。
さて。
でも、このままだとなんだか
「動画の主を批判してるのか
」
と思われてしまいそうなので、
ちょっと話を付け加えたいと思います。
あくまで僕個人の経験から思っていることなのですが、
こういう図形問題を解くとき、
次のような傾向の人がいるとおもうんです。
(Ａ)変数を使った方がむしろわかりやすいと思う人
（変数が得意なタイプ）
(Ｂ)変数を使うとわからなくなってしまう人
（変数が苦手なタイプ）
たぶんみなさんの周りにも、こういう２タイプの人は居たんじゃないかな？と思います。
ＡとＢのタイプの人って、考え方が真逆ですよね。
この記事で最初に紹介した動画内での解き方は変数を使うので、
Ａの「変数が得意なタイプ」の人が好む解き方だと思います。
ところが、Ｂタイプの人は真逆。
Ｂタイプの人はきっと、
変数が出てきただけでパニックになってしまうようなタイプ。
変数と聞いただけでジンマシン
が出て生理的に受け付けない
ようなタイプなんですね。
そういう人は「できれば変数は使いたくない
」と思うでしょう。
そういう場合は、僕の解き方の方が良いわけです。
何が言いたいかというと、
前回のブログでも書いたんですが、
『数学は結果じゃなくて過程が大事』
ということ。
前回のブログで、
『いろんな解き方を試した方が面白い』
と書きましたよね。
今回の問題も解き方はいろいろ。
いろんな解き方を試して知っておくことで、
様々な問題に柔軟に取り組めるようになるのです。
つまり、
『自分に合った解き方をすれば良いんじゃないの？』
というのが僕の考え方です。
ＴＶのクイズ番組でも昔ありましたよね？
大人よりも小学生の方が解きやすい問題。
「大人はつい変数を使って考えたくなるけど、
実はその問題は変数なんて使わなくても
小学生の知識で解けるものだった。」
という感じの問題が、クイズ問題として出題されましたよね？
これはつまり、
「数学＝変数を使わなきゃいけない」
という思い込みがあると逆に難しくなっちゃって解けない問題なわけです。
今回はそれとよく似ているのです。
変数で解く方がスッキリして好きだという方は
動画内の解き方で解けば良いし、
変数は苦手だなと思う方は、僕の解き方を使えばいい。
どちらの解き方が良いとかそういう話じゃないってことです。
ただ今回の図形問題の場合。
もう一度２つの解き方をみていただくとわかると思うのですが、
『補助線の引き方によっては、
変数を使った方がうまく解けることがある。
でも、補助線の引き方を変えると、
変数は要らなくなる可能性がある』
という「ちょっとしたクセ」みたいなものがある、
ということは、理解しておいていただきたいと思います。
なお、ここ２回とも、わりと易しい問題を解いてきましたが、
「この程度でマウントしてるやつがいる」
とか思われるのもイヤなので、もう一つ問題を用意してます。
次回はグッとレベルを上げて
・積分
・偏微分
などの高校～大学レベルの知識が必要な内容を解説しようと思ってます。
たまたま良い題材が見つかったので
いやぁ。数学ってマジでおもしろい。
