青山学院高等部過去問研究
2022年度青山学院高等部募集人数 男女合わせて約80名に対し、応募者男子448名 女子600名 受験者男子371名 女子519名 合格者男子101名 女子102名でした。
一般入学入試問題は,大問8題構成で、1.四則計算 2.場合の数 3.関数 4.数の性質 5.平面図形 6.方程式の応用 7.場合の数 8.空間図形が出題されました。昨年度より1問増えましたが、難易度は例年通り。また出題内容も頻出問題である場合の数,関数,方程式の応用,平面図形が出題されました。過去問を繰り返し学習することが合格へ効果的です。
今回は 9.空間図形を解説します。 立方体に内接する球に関する問題は、高校受験でもよく出題されます。
青山学院高等部2022年度数学入試問題8.空間図形 問題
青山学院高等部2022年度数学入試問題8.空間図形 (1)解説解答
(1) R1の半径r1を求めよ。
解説解答
立方体に内接する球の中心は 向かい合う正方形の対角線の中心を通るので
一辺2cmが球の直径になる。
よって rr1 = 1cm
答 1cm
青山学院高等部2022年度数学入試問題8.空間図形 (2)解説解答
(2) R2の半径r2を求めよ。
内接円の中心をOとする。
四角すい I - ABCDの体積 = 四角すい O - ABCD の体積+ 三角すい O - ABIの体積 +三角すい O - BCIの体積 +三角すい O -CDIの体積 +三角すい O -DAIの体積
三角すい O - ABIの体積 = 三角すい O - BCIの体積 =三角すい O -CDIの体積 =三角すい O -DAIの体積 なので
四角すい I - ABCDの体積 = 四角すい O - ABCD の体積+ 三角すい O - ABIの体積 ×4
四角すい O -ABCDの底面積は 2×2 = 4c㎡ 高さ = r2
三角すい O - ABIの底面積は △ABI
三平方の定理より △ABIの高さは
頂点Iから底面ABCDに垂線を下ろし、その交点をHとする。
Hは正方形ABCDの対角線の中点上にある。
△ABCは直角二等辺三角形なので
青山学院高等部2022年度数学入試問題8.空間図形 (3)解説解答
(3) 球R1が底面EFGHと接する点をN,⑨R2が側面IAB,ICDと接する点をそれぞれP,Qとするとき、△NPQの面積を求めよ。
解説解答
P,Qはそれぞれ△OABにおける∠AIB,△ICDにおける∠CIDの垂直二等分線上にある。
辺ABの中点をJとする。
同様にCDの中点をKとする。 IK = 2cm
直線JK = AD = BC = 2cm
JKの中点をJとする。
IJ = 2cm,JL = 1cm なので
△POJ ≡ △LOJ ≡ △QOK ≡ △LOK なので
jP = KL = KQ = KL = 1cm
PQの中点をTとする。
IP =PJ なので
△IPQ ∽ △IJK PQ:JK = 1:2 JK = 2cmなので PQ = 1cm