こんにちは、訪問ありがとうございます。

今回も中2の長男くんが解いて入る

青チャート数IAからです。

おまけ

こちらは、チャート式体系数学１（代数編）

この例題100もついでに解答を乗せておきます。

(1)式変形すると

1≦x<a＋2

1<a＋2より

-1<aですね。

もしaが1を含むと

1≦x<1

となりおかしいですね

1≦x<1、1ならばおかしくなるので、

aは1を含んではダメです。

○ 1≦x<1、001

× 1≦x<0,9999→1未満はダメ

不等式の、難しい所の1つは

＝を含むかどうかですね。

＝を入れて、当てはまるかどうかの習慣付けが

大事だと思います。

(2)1≦x<a＋2

の場合、整数解の個数を考えます、

例えば、a＝1の時

1≦x<3の整数解は1、2の2つです。

aが1、01などaが1より少しでも大きくなれば

整数解は1、2、3になります。

従ってaは1より少しでも大きければ良く、

a＋2が4の時

1≦x<4

であれば、整数解は1、2、3

4より少しでも大きくなると整数解は1、2、3、4になってしまうので、

解答　1<a≦2

a＝2のとき

a+2＝4となりますが

1≦x<a＋2

の

x<a＋2の<部分は＝を含まないので

ｘは４を含まないのです。

このイコールを含む含まないが

慣れないとどうも理解しにくいようです。

長男君は類題をかなり解いたので

この不等式の＝の有り無しは

しっかり理解できました。

不等式が苦手は人は、

ここをかなりしっかり理解しないとだめです。

上記は体系数学１の範囲ですので、

中高一貫校生は、1年生のうちに習う内容です。

公立中学だと、今は不等式は中学では習わないかもしれません。

さて、本題です。

青チャート数IA

ｐ219　EXERCISE　86

2次不等式x²-(2a+3)x+a²+3a<0 ・・・①

x²+3x-4a²+6a<0・・・②

について、次の問いに答えよ。

ただし、aは定数で0<a<4とする。

(1)①、②を解け

(2)①、②を同時に満たすｘが存在するのは、

aがどんな範囲にあるときか。

(3)①、②を同時に満たす整数ｘが存在しないのは、

aがどんな範囲にあるときか？

解答

(1)はただの因数分解で、出来ないのは論外なので略。

①は(x-a){x-(a+3)}<0

②は(x+2a){x-(2a-3)}<0

したがって

①は

a<x<a+3　・・・③

②-2aと2a-3の間にｘはある。

-2aと2a-3はどちらが大きくて、どちらが小さいかを調べて

-2a<2a-3

この時、a>3/4

※aの範囲はもともと０～４ですので

3/4<a<4の時

-2a<x<2a-3・・・④

-2a=2a-3は不適　2乗が0未満とかありえないので

-2a>2a-3

この時

a<3/4

すなわち

0<a<3/4の時

2a-3<x<-2a・・・⑤

ここからが本番です。

(2)③と④

または③と⑤を同時に満たす必要がある

-2aに着目すると-2aは負の数であり、

③の最小値は0以上だから

⑤の最大値が負の数であると

③と⑤と満たすのは不可能です。

数直線を考えると

③と⑤は（数直線を書いてイメージしてください）

負の無限大　2a-3　-2a 0 a a+3

緑と青が重なってませんね。

の大小となるので無理です。

③と④を考えます

③（数直線を書いてイメージしてください）

0　a a+3 7

④（数直線を書いてイメージしてください）

-2a　0　2a-3 　5

これが共通範囲ある

→（数直線を書いてイメージしてください）

-2a　0　a 2a-3 a+3

青と青の間に緑が入り込んでますね。

となるということですね。

a<2a-3<a+3

を解いて

3<a<4

aは0から４という決まりです。

(3)①、②を同時に満たす整数ｘが存在しない

を、どういう風に解釈するかがポイントです。

①と②を同時に満たすｘが存在しなければ、

そもそもそれは整数どころかｘは存在しない。

→0<a≦3・・・⑥

また、

①と②を同時に満たすｘが存在するが、

それは整数解を含まない。

3<a<4のとき

-2a　0　a 2a-3 a+3

aは３～４

なので

→（数直線を書いてイメージしてください）

-2a、0,1, 2, 3, a, 4, 2a-3, 5, a+3, 6, 7,

となると共通解は整数４を含む

0,1, 2, 3, a, 2a-3,4, 5, a+3, 6, 7,

となると共通解は存在するけれど

整数４を含まないってことです。

すなわち2a-3≦4となればいいのです。

※-2a<x<2a-3・・・④ですので

2a-3=4となっても

ｘは４を含みまないので＝を入れていいのです。

3<a≦7/2・・・⑦

よって求める範囲は

⑥と⑦を足し合わせた範囲で

0<a≦7/2

不等式では

数直線上に数字や文字式を並べる

文字式の範囲、大小を良く考えなくてはいけないのが

難しいのではと思います。

しばらくしたら、出来ようになっているか

再確認しておこうっと。

久しぶりの数学の問題②