こんにちは、訪問ありがとうございます。
今回も中2の長男くんが解いて入る
青チャート数IAからです。
おまけ
こちらは、チャート式体系数学１（代数編）
この例題100もついでに解答を乗せておきます。
(1)式変形すると
1≦x<a＋2
1<a＋2より
-1<aですね。
もしaが1を含むと
1≦x<1
となりおかしいですね
1≦x<1、1ならばおかしくなるので、
aは1を含んではダメです。
○ 1≦x<1、001
× 1≦x<0,9999→1未満はダメ
不等式の、難しい所の1つは
＝を含むかどうかですね。
＝を入れて、当てはまるかどうかの習慣付けが
大事だと思います。
(2)1≦x<a＋2
の場合、整数解の個数を考えます、
例えば、a＝1の時
1≦x<3の整数解は1、2の2つです。
aが1、01などaが1より少しでも大きくなれば
整数解は1、2、3になります。
従ってaは1より少しでも大きければ良く、
a＋2が4の時
1≦x<4
であれば、整数解は1、2、3
4より少しでも大きくなると整数解は1、2、3、4になってしまうので、
解答 1<a≦2
a＝2のとき
a+2＝4となりますが
1≦x<a＋2
の
このイコールを含む含まないが
慣れないとどうも理解しにくいようです。
長男君は類題をかなり解いたので
この不等式の＝の有り無しは
しっかり理解できました。
不等式が苦手は人は、
ここをかなりしっかり理解しないとだめです。
上記は体系数学１の範囲ですので、
中高一貫校生は、1年生のうちに習う内容です。
公立中学だと、今は不等式は中学では習わないかもしれません。
さて、本題です。
青チャート数IA
ｐ219 EXERCISE 86
2次不等式x2-(2a+3)x+a2+3a<0 ・・・①
x2+3x-4a2+6a<0・・・②
について、次の問いに答えよ。
ただし、aは定数で0<a<4とする。
(1)①、②を解け
(2)①、②を同時に満たすｘが存在するのは、
aがどんな範囲にあるときか。
(3)①、②を同時に満たす整数ｘが存在しないのは、
aがどんな範囲にあるときか？
解答
(1)はただの因数分解で、出来ないのは論外なので略。
①は(x-a){x-(a+3)}<0
②は(x+2a){x-(2a-3)}<0
したがって
①は
a<x<a+3 ・・・③
②-2aと2a-3の間にｘはある。
-2aと2a-3はどちらが大きくて、どちらが小さいかを調べて
-2a<2a-3
この時、a>3/4
※aの範囲はもともと０～４ですので
3/4<a<4の時
-2a<x<2a-3・・・④
-2a=2a-3は不適 2乗が0未満とかありえないので
-2a>2a-3
この時
a<3/4
すなわち
0<a<3/4の時
2a-3<x<-2a・・・⑤
ここからが本番です。
(2)③と④
または③と⑤を同時に満たす必要がある
-2aに着目すると-2aは負の数であり、
③の最小値は0以上だから
⑤の最大値が負の数であると
③と⑤と満たすのは不可能です。
数直線を考えると
③と⑤は（数直線を書いてイメージしてください）
負の無限大 2a-3 -2a 0 a a+3
緑と青が重なってませんね。
の大小となるので無理です。
③と④を考えます
③（数直線を書いてイメージしてください）
0 a a+3 7
④（数直線を書いてイメージしてください）
-2a 0 2a-3 5
これが共通範囲ある
→（数直線を書いてイメージしてください）
-2a 0 a 2a-3 a+3
青と青の間に緑が入り込んでますね。
となるということですね。
a<2a-3<a+3
を解いて
3<a<4
aは0から４という決まりです。
(3)①、②を同時に満たす整数ｘが存在しない
を、どういう風に解釈するかがポイントです。
①と②を同時に満たすｘが存在しなければ、
そもそもそれは整数どころかｘは存在しない。
→0<a≦3・・・⑥
また、
①と②を同時に満たすｘが存在するが、
それは整数解を含まない。
3<a<4のとき
-2a 0 a 2a-3 a+3
aは３～４
なので
→（数直線を書いてイメージしてください）
-2a、0,1, 2, 3, a, 4, 2a-3, 5, a+3, 6, 7,
となると共通解は整数４を含む
0,1, 2, 3, a, 2a-3,4, 5, a+3, 6, 7,
となると共通解は存在するけれど
整数４を含まないってことです。
すなわち2a-3≦4となればいいのです。
※-2a<x<2a-3・・・④ですので
2a-3=4となっても
ｘは４を含みまないので＝を入れていいのです。
3<a≦7/2・・・⑦
よって求める範囲は
⑥と⑦を足し合わせた範囲で
0<a≦7/2
不等式では
数直線上に数字や文字式を並べる
文字式の範囲、大小を良く考えなくてはいけないのが
難しいのではと思います。
しばらくしたら、出来ようになっているか
再確認しておこうっと。