こんにちは、訪問ありがとうございます。
本日は整数問題です。
簡単なようで、
論理力が試される重要な問題だと思います。
A3-B3＝217
についてです。
217を素因数分解すると、7×31ですね。
A3-B3＝（A-B)(A2+AB+B2)＝217＝7×31
と、ここまでは難なく来れますね。
というわけで
（A-B)(A2+AB+B2)の組み合わせは
（1、217）
（-1、-217）
（7、31）
（-7、-31）
（31，7）
（-31、-7）
（217，1）
（-217、-1）
の8組あるわけです。
8通りもやってられないなということで、
いかに、ここから「範囲を限定」して減らしていくかが
この問題のポイントだと思います。
いい加減な論証で、減らすと、
こいつ
良く分かってないで解答しているなと
ばれてしまうのです。
2005年の京大数学（理系）の問題ですね。
まず長男君はどこでならったのか、
A2+AB+B2 これは、正になるとすぐ分かりました。
何でって聞くと、この形は正ということをもうしっていると。
＝(A+1/2B)2+3/4B2
と、スラスラーと書き始めました。
この形は正ということをもう頭に入っていると。
私の心の声「何、こやつ、なかなか賢いな。」
なんで、知ってるの？
と聞くと、
俺は、整数問題を結構解いているんだよと
なんか、偉そうですが
素直に関心しました。
私の解答は
y=x3
のグラフは、単調増加する関数であるから
A3-B3＝217＞0であるので
A3＞B3
→Ａ＞Ｂ
であるといえます。
従ってA-B＞0ということですね。
どちらにせよ。
（A-B)(A2+AB+B2)の組み合わせは
（正、正）
となり、負の整数を考えなくてよくなります。
ポイント①として、
なんとなく、（正、正）でなく
（負、負）は、ないよってことをきちんと示さないと減点です。
（A-B)、(A2+AB+B2)の組み合わせは
（1、217）
（7、31）
（31，7）
（217，1）
の4つになりましたね。
さらに、ここから範囲を限定させたいところ。
長男くんは
(A-B)と(A2+AB+B2)を大小をなんとなく、
(A2+AB+B2)の方が大きいだろとやっていたので、
ここで大幅な減点になると思います。
こういう、適当なところがダメなんです。
数学はもっと厳密な科目です。
ここら辺が、まだ、中学生だな〜という感じです。
テストなどで採点を受けて、減点をどばっとされないと、
答えがあっていれば良いやろ
的な、中学受験のような感じではダメなんです。
この大小をはっきりさせないとね。
(A-B)と(A2+AB+B2)
の大小を比べるなら
(A2+AB+B2)-(A-B)
を計算したり、因数分解するのですが
どうもやってみると、平方完成したりしても無理そうです。
これ以上、しぼれないかというと、
「整数問題では、2次方程式に持ち込んで、
判別式Dが0以上かつ、整数の二乗にならない
といけない
ということもよく利用します。
(A-B)=x
(A2+AB+B2)＝y
とすると
xy=217
x,y、A、Bはすべて整数。
A＝x+B
(x+B)2+(x+B)B+B2=y
Bに関する2次方程式とみて
Bは整数であるため
3B2＋3xB＋x2-y＝0
D＝9x2-12(x2-y)
＝3{3x2-4(x2-y)}
＝3(4y-x2)
(x、y)は
（1、217）→3×867＝3x3x17x17
（7、31）→3×75＝3x3x5x5
（31，7）→3×(-933)
（217，1）→3×(-47095)
であるから、
(x、y)＝(1、217)と(7、31)
この時B＝1/6{-3x±√D}
1、217のとき
1/6(-3×1±51)＝8と-9＝B
7、31のとき
B＝-1と-6
A＝B＋xで
(A、B)＝(9、8)、(-8、-9)、(6、-1)、(1、-6)
の4パターン。
私の解答は
f(x)＝y=x3
のグラフは、単調増加する関数であるから
Ａ＞Ｂのとき、f(A)>f(B)
f(x)>0の時 x>0
f(x＋2)-f(x)<f(x＋1)-f(x)<f(x＋1)-f(x-1)<f(x＋1)-f(x-2)、、、、が成り立つ
f(10)-f(9)<f(10)-f(1)
f(x)を微分すると3x2乗である。
従って、xが1増えた時の変化量の差はだんだん大きくなる。
f(11)-f(10)>f(10)-f(9)
f(x)<0の時 x<0
f(x＋1)-f(x)<f(x＋1)-f(x-1)<f(x＋1)-f(x-2)、、、、、が成り立つ。
f(-10)-f(-1)<f(-10)-f(-11)<f(-10)-f(-12)<f(-10)-f(-13)、、、ということ。
f(-11)-f(-10)>f(-10)-f(-9)、、、
ここで3乗の数を考えると、1、２、３と順にかくと
1，8，27、64、125，216、343、512、729、1000、1331
だから、103-93＝271
93-83＝217
73-63＝169
①Ａ＞0、Ｂ＞0の時
Ａが１～6まででは、217以上になりえないので
Aは7以上
Ａ＝１0の以上の時 最少となる103-93＞271
となり不適。
よってＡ＜10
従って、Aは7、8、9のどれか
Ａ＝9の時、Ｂ＝8
Ａ＝8の時 B3＝241
Ａ＝７の時 B3＝72で整数解はなし
②Ａ＞0、Ｂ＜0の時
このとき、
217＞A3＞-B3＞0
Aは1～6までで
Ａ＝１ Ｂ＝-6
Ａ＝2の時 B3＝-209
Ａ＝3の時 B3＝-190
Ａ＝4の時 B3＝-153
Ａ＝5の時 B3＝-92
Ａ＝6の時 B3＝-1 Ａ＝6、Ｂ＝-1
③A＜０ B＜０
A-B＞０ のとき
-B3＞0となる。
B＝-10以下ではでは最小値となるのはB＝-10 A＝-9で
A3-B3＝-729+1000＝271
①と同様に0>B>-10
Aは負だから、-B3は最低でも217以上
Bは-6から-9
A＝-8 B＝-9
④A<0 B>0は負となり不適
答えは下線部です。
数学得意な方へ、
私の解答のここがおかしいということが
あれば、コメントお願いします。
独自解答なんで、なんかおかしなところあるかもです。