こんにちは、訪問ありがとうございます。
因数分解が得意な長男くん(中2)が、
因数分解を間違えたので、
深掘りしてみます。
高校入試程度の因数分解なら
難関中でもスラスラやってしまいます。
問題
a3+6ab−8b3+1を因数分解せよ
中学生には、ちと難しいかもしれません。
ヒント
a3−b3＋c3＋3abcの因数分解です。
または、
(a−2b)3＋1＋(辻褄合わせ)
A 3＋B3＝(A＋B)3−3AB(A＋B)
公式 a3+b3+c3−3abc＝(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)
b3⇒（－ｂ）3
と考えて
公式の変形⇒a3−b3＋c3＋3abc＝(a－b＋c)(a2+b2+c2＋ab＋bc−ca)
としてみる訳ですね
答え
公式の
ｂ⇒-2ｂ ｃ⇒1
（a－2b+1)(a2+4b2+1+2ab+2b－a)
じゃあ、
⭐️a3+b3+c3−3abcの因数分解についてです。
たとえば、
a⇔ｂ ｂ⇔c ｃ⇔a
としても全く同じな式を対称式といいます。
⭐️の式は、そうなっていますね。
3変数の基本対称式は
ab+bc+ca abc a+b+c
です。
対称式では、
(a+b)または(b+c)または(c+a)
のどれか1つが因数だと、残りも因数となります。
→a＝−ｂを入れて、与えられた式が0になれば、
(a+b)(b+c)(c+a)( ほにゃらら )という答えになる訳です。
よって、
対称式の因数分解では、
→a＝−ｂを入れて、与えられた式が0になるかは、試す価値があります。
⭐️はa3+b3+c3−3abc
→−b3+b3+c3＋3b2cなるので0になりませんね。
また、
a⇔b ｂ⇔c ｃ⇔a などのどれを実施しても
全体の符号が反対になった場合の式を交代式と言います。
つまり
aとbを交換すると
交代式⇒−(交代式)
になるということです
⭐️は交代式でもありません。
交代式の例は
a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)
などです。
a⇔ｂを実際にやってみると
ｂ(a-c)+a(c-b)+c(b-a)
ならびかえると
a(c-b)+ｂ(a-c)+c(b-a)＝
-a(b-c)-(c-a)-c(a-b)
となっていますね。
対称式は、
(b−c)(c−a)(a−b)×（ ほにゃらら ）という形に因数分解できます
a２(b−c)+b２(c−a)+c２(a−b)を因数分解しろっていうときに
a２(b−c)+b２(c−a)+c２(a−b)＝0を考えたとき
ｂ＝ｃをいれてみると
0+b２(ｂ−a)+ｂ２(a−b)＝b3−aｂ２+aｂ２−b3＝0
すなわち、a２(b−c)+b２(c−a)+c２(a−b)＝0はｂ＝ｃを解にもつ
すなわち（ｂ－ｃ）を因数に持つことが分かります。
同様にa=b a=cをいれても０になる。
すなわち
a２(b−c)+b２(c−a)+c２(a−b)＝0
(b−c)(c−a)(a−b)×（ ほにゃらら ）となるはずです。
この式は交代式であり、交代式はこのように(b−c)(c−a)(a−b)を因数にもちます。
最後のかっこは対称式に式になります。
正解の形がわかっていれば
b２(c−a)+c２(a−b)から
(bーc)を作り出せばいいですね
b２c−ab２＋ac２−bc２
=bc(b-c)-a(b2－c2)＝bc(b-c)-a(ｂ+ｃ)(b-ｃ)
=(b-c)(bc-ab-ac)
a２(b−c)+b２(c−a)+c２(a−b)＝
(b-c)(a２+bc-ab-ac)
a２+bc-ab-ac
は
a(a-ｃ)-b(a-c）
=(a-c)(a-b)
※
a２(b−c)+b２(c−a)+c２(a−b)＝
(b-c)(a-c)(a-b)
＝(b-c)×-1×(c−a)(a−b)
(b−c)(c−a)(a−b)×（-1）
ということですね。
⭐️⭐️a3(b−c)+b3(c−a)+c3(a−b)
も同様に因数分解できます
b3(c−a)+c3(a−b)から（ｂ-ｃ）を作ることから始めます。
=b3c−ab3+ac3−bc3
bc(b２-c２)-a(b3-c3)
で(b-c)が出てきますね。
面倒くさいので以下は省略します。
次はbの2次式と見て因数分解します。
aの3次式としてみると出来ません。
青チャートに詳しい解説あります。
この問題は、難しいというか、
かなりの計算力が必要で、実際に手を動かしてやってみると、
すごく面倒です。
長男くんは途中ミスしておかしい、どっか合わんなと
しばらく格闘してました。
実際に暗記数学でやり方覚えても、
解くとなると、ややこしい計算なんかは
慣れないといけないから
冒頭の問題より、
⭐️⭐️の方が計算力も必要で難しいかな？
と思いました。
とある程度の答えの形が分かっていれば
方針が立てやすいということです。
ほにゃららは対称式になるので、
次数的に答えの（ほにゃらら）が
3次の基本対称式である（a+b+c）と予想がつけば
a=-b-cをいれて、
a3(b−c)+b3(c−a)+c3(a−b)
が０になることを確かめても良いでしょう。
答えは
(b−c)(c−a)(a−b)×（a+b+c）です。
問題は全て青チャート数IAからの出題ですが、
対称式、交代式については
もう少し詳しい解説を今回しました。
これらは、青チャートの⭐️⭐️⭐️と⭐️⭐️⭐️⭐️の問題です。
正直なところ、
高1当時の私では、
ここまで理解はできてなかったですね。
まあでも、私を超えていくのが実感できるので、
頼もしい奴ですね！