こんにちは、訪問ありがとうございます。
今回は
中学生からの青チャートです。
前回のおさらい
重複組合せとは、
種類が異なる、複数の同じものからなるグループがn種類ある。
重複を許して、その中から、r個をとる組合せは、
n＋rー1Cr
となる。
でした。
具体的には、
n種類のものから
重複を許して、その中から、r個をとる組合せは、
→仕切りnー1個と⭐️r個を混ぜた、組み合わせ
(nー1＋r)！÷(nー1)！r！
＝n＋rー1 Cr
である。
というものでした。
新課程 青チャートp385
基本例題33 🧭🧭🧭
①x＋y＋z＝9
x、y、zは0以上の整数
②x＋y＋z＝12
x、y、xが正の整数の時
解答
①○○○○○○○○○と○を9つ用意する。
これを仕切り2つで分ければ良い。
仕切りの左がx
仕切りと仕切りの間がy
仕切りの右がz
○l○○○l○○○○○
x＝1 y＝3 z＝5
○ll○○○○○○○○なら
x＝1 y＝0 z＝8
よって、11！÷(9！2！)＝11C2＝55
②○○○○○○○○○○○○と○を12個用意
○と○の間の隙間11個に仕切りを2つ入れる。
11C2＝55
○l○○○○l○○○○○○○
x＝1y＝4 z＝7
ってな具合です。
ありきたりですが、
xー1＝X
yー1＝Y
zー1＝Z
とすると、
②x＋y＋z＝12
x、y、xが正の整数の時
→X＋Y＋Z＝9
XYZは0以上の整数の時
と言い換えられて、①と同じになります。
特段に難しいわけではありませんが、
公式
重複組合せとは、
種類が異なる、複数の同じものからなるグループがn種類ある。
重複を許して、その中から、r個をとる組合せは、
n＋rー1Cr
となる。
だけ覚えておいても解けないんですよね。
青チャートだけしていると、
教科書の様に詳しい説明や
超基本問題が省かれている事があります。
青チャートを中学生から初学でやるには、
家庭教師なり、上の学年の兄弟などの家族なり、
塾の先生でもサポートがないと
時々つまづくと思いますが、
長男くん、
一人でわからなかったのは
青チャートの例題のうち、今のところ5問なかったと思います。
例題には、それほど、難問ってないです。
具体的には、
n種類のものから
重複を許して、その中から、r個をとる組合せは、
→仕切りnー1個と⭐️r個を混ぜた、組み合わせ
(nー1＋r)！÷(nー1)！r！
＝n＋rー1 Cr
である。
ということを理解しておきたい所です。
新課程 青チャート数IA p384
重要例題34 🧭🧭🧭🧭
次の条件を満たす、整数の組ABCDEに個数を求めよ。
(1)0<A<B<C<D<E<9
(2)0≦A≦B≦C≦D≦E≦3
(3)A＋B＋C＋D＋E≦3 ABCDEは0以上
解答
(1)ABCDEは1から8の数字の組み合わせで、
重複はないから、8C5ですね
(2)重複あり、0を含んで良い。
○○○と(←3つとる)
4つの仕切り(←5種ありから仕切りは4つ)
llll
を用意して
1つ目の仕切りの左がA
1つ目の仕切りと2つ目の仕切りの間がB
省略して
4つ目の仕切りの右側がEとする。
l○ll○l○
A＝0 B＝1 C＝0D＝1 E＝1
l○○lll○
A＝0 B＝2 C＝D＝0 E＝1
これは、間違いです。
A≦B≦C≦D≦E
と、不等号があるのに、
仕切りで仕切って、場所を決めてしまうと、
大小が辻褄が合わなくなります。
不等号がある時は、
区別なく取り出してから、
小さい順に並び替える
のが鉄則です。
02001を取り出してから、
小さい順に並べれば良いのです。
この時、02001と、01002は同じものとして扱わなければいけません。
(2)では
0、1、2、3から重複を許して5つとって、
小さい順に並び替えて、ABCDEとすればOKです。
5つとる。
種類は4つ
というにが、最初に間違った考えと違うところです。
○○○○○を5つとって
仕切りは3つで良い。
○ll○○○l○
仕切りの左は0
仕切りと仕切りの間は1
次の仕切りと仕切りの間は2
仕切りの右は3
→0、222、3
と表せます。
(2)0≦A≦B≦C≦D≦E≦3
❌
重複あり、0を含んで良い。
○○○と(←3つとる)
4つの仕切り(←5種ありから仕切りは4つ)
⭕️
0、1、2、3から重複を許して5つとって、
小さい順に並び替えて、ABCDEとすればOKです。
○○○○○と、
3つの仕切りで区切れば良い。
仕切りは不等号が無いものを仕切れるが、
不等号があるものは仕切れない。
という事がわかったでしょうか？
(3)
3
(3)A＋B＋C＋D＋E≦3 ABCDEは0以上
合計で3以下だから、○で仕切るのが適切。
しかも、ABCDEには、大小がない。
問題は、不等号になっているところです。
A＋B＋C＋D＋E＝0
A＋B＋C＋D＋E＝1
A＋B＋C＋D＋E＝2
A＋B＋C＋D＋E＝3
として、やれば、OKです。
1＋5C1＋6C2＋7C3＝56です。
3以下程度だからこの方法でもできますが、
もう少し上手いやり方があります。
不等号が邪魔しているので、
A＋B＋C＋D＋E＋F＝3
とFを1個足せば不等号が外せます。
(Fは0以上の整数)
ABCDEが00110だったとすると、F＝1です。
必ず1つのABCDEに対して、
1つのFが決まります。
1つのABCDEに対して、複数のFがあると、答えが違ってしまいますね。
こういう風に考えれば、
3個の○と、
仕切りを(6種ー1)の5個用意して区切ればよく
8C3＝56
となります。
組み合わせや確率は、ややこしいのですけれど、
ややこしいからこそ、
暗記するのではなく、
どうしてそうなるかをしっかり理解したい所です。
ちなみに、これを書きながら、私も理解を深めていまして、
他人に解説するということは、
結構な学習効果があります。
これを書いてから、
長男くんに教えるって寸法です。