こんにちは、訪問ありがとうございます
今日も、青チャートの内容です。
中2の長男くんと一緒に、青チャートを一緒に学んでいます。
私が高校生の時に、
重複組合せなんて、なかったと思うけど、
あったのかな？
重複組合せとは、
種類が異なる、複数の同じものからなるグループがn種類ある。
重複を許して、その中から、r個をとる組合せは、
n＋rー1Cr
となる。
注意点として、r個は、n種よりたくさんあっても良いですし、
いくつか、取らない(0個となる)グループがあっても可です。
○□△の3種のグループから
1個選ぶ時は、○、□、△の3種
3＋1ー1C1＝3C1＝3
2個選ぶ時
○○、○□、○△、□□、□△、△△の6種
3＋2ー1C2＝4C2＝6
これは、
3種ある場合、しきりで種類をわけると
3ー1＝2 個のこの仕切りがあれば十分。
左の仕切りの左が○
左の仕切りと右の仕切りの間が□
右の仕切りの右が△
○ l □ l △
を表すとします。
⭐️⭐️llを並び替えます
4！÷(2！2！)＝4C2＝6
⭐️⭐️ll＝○○
⭐️l⭐️l＝○□
⭐️ll⭐️＝○△
l⭐️l⭐️＝□△
l⭐️⭐️l＝□□
ll⭐️⭐️＝△△
を表せる訳です。
仕切りと選ぶ個数を用意して、それを並び替える。
というのが、重複順列の公式です。
上記の様に、仕切りがnー1個あれば、
(取り分けた)r個を全て、それぞれなんの種類か分別できる訳です。
だから、nー1の仕切りとr個を混ぜた、組み合わせを考えれば良いのです。
青チャートp383の
柿、みかん、りんごの中から5個取る
⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️と仕切りllを用意して、
左の仕切りの左が柿
左の仕切りと右の仕切りの間がみかん
右の仕切りの右がりんご
をとすれば
⭐️l⭐️⭐️l⭐️⭐️が柿1みかん2りんご2
⭐️⭐️⭐️ll⭐️⭐️が柿3みかん0りんご2
ll⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️が柿0みかん0りんご5
を表すという訳です。
すなわち、
7！÷(2！5！)＝7C5＝21通り
n種類のものから
重複を許して、その中から、r個をとる組合せは、
n＋rー1Cr
→仕切りnー1個と⭐️r個を混ぜた、組み合わせ
(nー1＋r)！÷(nー1)！r！
＝n＋rー1 Cr
※n＋rー1→mとすると
nー1→mーr
と置き換えれば
(nー1＋r)！÷(nー1)！r！
＝m！÷(mーr)！r！
＝mCrですね。
こういう風に、言葉で理解すると頭に入りやすいし使いやすいと思います。
公式みても、イメージが湧きにくく、
意味もなく、暗記して使うって、
使いにくいですよね。
長男くんはなんとなく、
暗記していたので、
上記の様に理解して覚えてもらいました。
これをどう利用して問題解くかというのは、
次回説明します。