こんにちは、訪問ありがとうございます。
今回は中1長男くんとしている数学についてです。
大学受験生でも、数学力がないと普通に解けないと思います。
数学の問題に興味のない方はスルー推奨です。
中高一貫校の良い所は高校受験のない所です。
それだけで、中学受験の甲斐があったというもの。
しかし、中高一貫校の最大の利点は、
高校受験がないために、中学で習う範囲、高校で習う範囲の
枠組みを超えて学習できることです。
逆に言えば、中学で高校数学についていけず、
落ちこぼれてしまい生徒さんも沢山います。
とにかく、5教科で最大の関門である
数学を頑張ってやっていくぞ！
というのが、私と長男くんの作戦です
今回は、体系問題集数学1〜2(発展編)の中で、
1〜2番を争う難問のご紹介です。
こんな問題を中学2年生で学んでも、挫折しないで乗り越えなくてはいけないのです！
当然、私には解けませんでした
うん、まあ、仕方ないね、、、
日々、ダラダラと過ごすおっさっんには酷な問題です。
解答をより詳しく
解説するのが私の役割なのです。
まとめをノートに書いて、
さらに、しばらくしてここに書く事で
私の頭の中が整理されて良いのです。
出題は
体系問題集 数学2 幾何編 (発展編)
第4章(三平方の定理)総合問題からです。
三平方の定理と空間図形(中3の範囲)
になるかと思います。
(1)は序の口ですが、
正四面体の頂点Aから、底面BCDに垂線を下ろすと、
その点Hは△BCDの重心です。
AH二乗＋HM二乗＝AM二乗
より解く事が出来ます。
(2)正四面体に球が4つあり、それがどの面とも3個接している。
これはを理解できないと、
これより先はどうにもなりません。
普段、ボーっと生きている私には、何も思いつきません。
4つの球は対称に配置されており、
4つのの中心は、小さい正四面体を形作り
その小さい四面体の垂線は、大きい四面体の垂線上にあるのです。
例えば、
正四面体に1つの球が内接した場合は、
下図の左上の図のようになります。
そして、正四面体の体積は、
底面と内接球の中心を結んだ三角錐4つの分けられることより
底面積×r×4×1/3となりますが、
これを変形すると
底面積×高さ×1/3となりますので、
高さ＝4rとなります。
上の式と見比べると、
従って頂点から内接球までの距離は3rです。
これは、直接この問題とは関係ありませんが、
知っていた方が良い事柄です。
正四面体内に、小さい正四面体が入っており、
垂線が共有されている
対応する各面は平行になっている
3個の球の上に球が1個乗りその球は
AM上で点Eで接しています。
かつ、AH上に中心(O1)があります。(真ん中右図)
真ん中の図を見てください。
底辺に球が3こ乗っている図です。
底面にある3個の球のうち左下の球はBM上に接点があります。
(接点の直上に球の中心があります。)
3個の球のど真ん中に球が1個乗っています。
3個の球も重心がHでこの直上にもう一つの球の中心がある。
→Aを通りBMで切断した図が、真ん中右図です。
この図が書ければ解けるのですが、
なかなか簡単には書けませんよね。
真ん中右図で
△AEO1∽△AHMです。
AM:AO1＝HM:EO1
AO1＝3rです。
AB//O1O2です。
(対応する各面は並行)
△ABH∽△O1O2F
AB:O1O2:AH:O1F
O1F＝2/3×√6×r
AH＝3r＋2/3×√6×r＋r＝2√6
r＝(3√6−3)/5
となります。
複雑な計算はないのですが、
図を書くのが難しいですし、
図をかけてもすぐにはrは求められません。
中学生がこんな問題を解くのだから、
あと5年後の数学力はかなりやばいものになっていると
思われます。
はっきり言って、
私が高校3年生でも初見では解けたか怪しい問題です。
かなり難しい問題だなーと思います。
この次の問題かなり難問なのですが、
ブログに書くのが面倒なので、
気が向けば書くことにします〜。