こんにちは、訪問ありがとうございます。
今回は、長男くん(中1)の中学からの医学部入試対策編
「三角形の5心」についてです。
体系問題集(発展編)数学2 幾何
LｅｖｅｌC 問題
三角形の5心、オイラー線の証明についてです。
興味のない人は、スルー推奨です。
三角形の5心とは
○外心
○内心
○重心
○垂心
○傍心
です。
簡単に説明すると、
○外心は外接円の中心のことで、
三角形の各辺が、弦になります。
弦の垂直二等分線は、中心を通るでしたね。
○内心は内接円の中心で、
三角形の各辺が接線になります。
接線の性質は半径に垂直、接弦定理、接線2本で二等辺ですね。
→三角形の各頂点の角の二等分線を引くと内心で交わる。
○重心は、各頂点からの中線は1点で交わり、2:1に内分する。
○垂心は、頂点から対辺に垂線を下ろすと
1点で交わる。
→各頂点を通る対辺と並行な線を引き出来上がる三角形の、外心が垂心です。
○傍心は、傍接円の中心で、3つあり
三角形の各辺が接線となります。
このうち、
正三角形でない、鋭角三角形の
重心、外心、垂心は一直線上にある(オイラー線)
今回はこの証明問題です。
関連問題として、
○重心と垂心が一致する三角形はどんな三角形か？
チャート式 体系数学2 コンパス🧭🧭🧭🧭
→答え 正三角形
○外心と内心が一致する三角形は正三角形である事を証明せよ
(青チャート数IA 🧭🧭🧭)
結局、正三角形は外心、内心、垂心、重心は一致します。
オイラー線の証明は、
体系問題集でレベルC問題ですが、
青チャート数IAにも載っています
青チャート🧭🧭🧭です。
基本性質で重要な問題という事ですね。
今回、この題材を選んだのは、
中高一貫校では中2の時点で、青チャート数IA🧭🧭🧭のレベルを習うという事です。
黄チャートや白チャートでは🧭🧭🧭🧭レベルになっていると思われます。
体系数学3(中3)では、数IAの範囲＋数ⅡBの範囲も入ります。
(標準的には中3で、体系数学Ⅲの半分くらいまでかもしれません)
やる気がある中高一貫生は、もちろん、中3年でこれをやり終えます。
もっと、いえば、灘中や筑波付属駒場の中3で、
大学への数学の学力コンテストで、優秀者にはいる生徒もいます。
(高校全範囲を中3までに終えてしまっているんでしょうね。
驚くことに、私が大学受験生の時は中2で学力コンテスト優秀者の常連さんもいました。
いったいどういう頭をしてるんでしょう？ね)
この事が、
高校から中高一貫校にいった生徒と
中学2年ですでに高1レベルを習ってきた生徒との差になるのです。
中学から中高一貫校にはいった1年生と
高校から中高一貫校に入った1年生とで、
高校受験レベルを解かせたら、
高校から入ってきた生徒の方が良い点をとると思われます。
が、中高一貫校はすでに高1から高2の範囲を結構難しい内容をやっているので、
高校1年の1年間で
中学組がすでに学んでいる高校数学1年〜1年半分を学んで追いつく
プラスして中学組が高校1年間で学ぶ範囲
をやらないと、
高校2年で同じスタートラインに立てないのです。
実質追いつく＋新たに学ぶことが合わせて2年分を1年間やらないといけないので
入学後は、かなり頑張らなくてはいけません。
中学数学を極めて、高校受験に備える必要がある生徒さんは
この事実をよく知っておかないと、
高校から中高一貫校に入ると、1年生の時が進度がすごく早いのです。
都会では、
そのため、高校入試では、
中高一貫校より公立トップ高が人気となっているようです。
東大前で事件を起こした生徒は、
この壁に阻まれた事が絶望感を味わった要因の1つであると思います。
だからといって、他人に危害を加えるのは論外ですけど。
解答
右図において
(1)MはBCの中点かつCDの中点がOより
中点連結定理よりDB＝2OM
(2)直線AH⊥BC(垂心)、DB⊥BC(DCは直径で、その円周角)より
DB//AH
DA⊥AC(直径の円周角)
直線BH⊥AC(垂心)
DA//BH
よって、四角形ADBHは平行四辺形である。
(3)AH＝DB(平行四辺形)
(1)よりDB＝2OM
AH＝2OM
ここまでは、オイラー線の証明をするための準備段階です。
(1)〜(3)があるから、(4)のオイラー線の証明が出来るわけで、
(1)〜(3)は覚えておく必要があります。
(4)線分OHと線分ALの交点をZとする。(左図)
AH//OMより△ZOM∽△ZHA
OM:HA＝1:2＝ZA:ZM
AMは中線であり、その中線を1:2に内分するZは、重心と一致する。
よって、OG:GH＝1:2である。
(4)の問題は、本来は別の問題となっています。
(1)から(3)に優しい誘導があるため簡単に解けますが、(1)〜(3)を覚えておきましょう。
(1)〜(3)の誘導がない場合は
下記の解き方でもOKです。
左図を見てください。
BHの中点をN
ABの中点をPとおく。
△ABHにおいて
中点連結定理より
PN//AHかつAH＝2PN
また、△HBCにおいて
中点連結定理により
NL//CH
Hは垂心であり、CH⊥AB
Oは外心、Pは中点で、OPはABの垂直二等分線であり
AB⊥OP
よって、OP//CH//NL
四角形PNLOは平行四辺形である。
AH＝2PN＝2OL
オイラー線の証明と三角形の5心を
学ぶ問題でした。