こんにちは、訪問ありがとうございます。
今回は余事象（確率）の問題についてです。
今回は数学の内容なので、興味のない方はスルー推奨です。
中1長男くんの医学部受験対策
体系問題集 数学２ 代数編
総合問題からです。
問題
１から９までの数が１つずつ書かれた９枚のカードがある。
この中から無作為に4枚のカードを取り出し、カードに書かれた４つの積をMとおく。
このとき、次のようになる確率を求めよ。
（1）Mが７の倍数になる確率
（2）Mが14の倍数になる確率
（3）Mが6の倍数になる確率
まず、余事象は「すくなくても１つが～の時、
そうならない場合を考えて、全事象から引くというやり方ですね」
これを覚えて使えるのは当たり前なのですが、
余事象を使わないで解くやり方も学んで欲しいのです。
＋アルファとして、こうした考え方は間違えになるよ
というやり方も知っておいてほしくて今回は書きました。
余事象を使って解ける
だけでなく、時間がある今だからもう少し深く考えてみようというのが
今回のテーマです。
解答
素直に解くと、9枚から４枚をとる（順番なし）ですので
全事象は9C4＝126通りです。
（1）Mが7の倍数
「７を1枚とり、残りは、8枚から好きな3枚を選べばよい
１×8C3＝56通り 56/126＝4/9が答え」
（2）14の倍数
その①「７を1枚 偶数を1枚選んで、残り2枚は何でもいい」と考える
その②「７を1枚 偶数1枚-奇数2枚 偶数2枚-奇数1枚 偶数3枚」と正攻法で考える
その③「７を1枚と偶数を少なくても1枚」と余事象で考える
いった方針が立ったとします。
②と③は正解にたどり着けますが、
①は一見正しそうですが、正しくありません。
どうしてかというと、偶数が1枚あればいいと考えると、重複してしまうからです。
その①(間違えた考え方)
7を1枚、偶数を4枚から1枚、
他は何でも(7枚から2枚引く)
1×4×7C2＝1×4×21＝84通り
この考え方の間違った所は、
7、2を選んで、1345689から2枚取るとそこに他の偶数が入る時があります。
7、2→4と6
これは、
7、4→2と6と重複してしまうからです。
従って、偶数が何枚入るかで場合は分けしないといけないのです。
その②のやり方になります。
７を1枚引いて(残りは偶数4枚、奇数4枚です)
偶数1枚-奇数2枚 4C1×4C2＝24通り
偶数2枚-奇数1枚 4C2×4C1＝24通り
偶数3枚 4C3＝4通り
合計52通りですので、52/126＝26/63が答え
その③が、余事象です。
7を1枚引いて、
14の倍数になる＝少なくても1枚偶数を引く
ですので、
7を引いて、14の倍数にならない＝すべて奇数を引くを考えれば
簡単に導けます。
7を引いて3枚奇数は
1×4C3＝4通り。
7を引くと言う全事象は56通りですので、
7を引いて14の倍数にならない4通り
7を引いて14の倍数になる52通り
と先ほどより簡単に答えを出せるのです。
しかし、余事象は便利な考え方ですが、
その根本として、正攻法なやり方も学んでおくべきなのです。
(3)
6の倍数になる。
2の倍数と3の倍数の共通ですね。
正攻法では
6が含まれる場合と
6が含まれず、2の倍数と、3の倍数が少なくても1つ以上
を考えます。
というのは、2の倍数が1つ、3の倍数1、2、3つ
2の倍数が2つ、3の倍数が1、2つ
2の倍数が3つ、3の倍数が1つ
と考えていきます。
余事象で考える場合
ベン図でみますと、
2の倍数でない
3の倍数でない
を足すと
図のように全事象−6の倍数＋2の倍数でもなく3の倍数でもないです。
ここで、2の倍数が4枚、3の倍数が3枚より、
(6はどちらにも含まれます)
そうではないには1、5、7の3つで
4枚取れば必ず2の倍数か3の倍数が入るので、
2の倍数でもなく3の倍数でもないというのは0通りです。
従って
2の倍数でもない＋3倍数でもない＝全通り−6の倍数
5C4＋6C4＝126−6の倍数
6の倍数＝126−5−15＝106通り
答え 106/126＝53/63
正攻法では
(6が1つ
6を含まない場合
2の倍数は3個
3の倍数は2個
それ以外3個です)
6を含む時
1×8C3＝56通り
6を含まない時
2の倍数が1つの時、3の倍数1、2つ＋それ以外から残り
3C1×(2C1×3C2＋2C2×3C1)＝27通り
2の倍数が2つの時、3の倍数が1、2つ
3C2×(2C1×3C1＋2C2)＝21通り
2の倍数が3つの時、3の倍数は1つ
3C3×2C1＝2通り
合計106通り
としなければならないのです。
場合分けが少し面倒ですが、
時間はある今のだからこそ、
長男くんには、
すぐに余事象で答えを出すだけではなくて、
正攻法のやり方も身につけてもらおうと思っています。
冬課題テストはどうも、5教科合計点が457点で
学年2位だったようです。
1位は慶應さんだった様子です。
最近、なんか、反抗期で生意気が増してきていて
イラッとするんだけど、
私が中学生の時は
タバコを吸って、原付のって、12時ごろまで友人宅で麻雀したりで
うるせークソ婆とか言っていたので、
長男くん全然可愛いです💕